Wzory eulera - postać trygonometryczna liczby zespolonej

[KadoKa]

Niech \(\displaystyle{ f(z)= (e^{z})^{n}}\), przy czym \(\displaystyle{ z=x+iy, n \in N}\). Przedstawić funkcję \(\displaystyle{ f}\) w postaci \(\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}\)
!! Możliwe że nie potrafię albo nie da się, ale wartość początkowa wynosi e^z^n. n to dowolna liczba naturalna.
Proszę o pomoc przy rozwiązaniu.

[Premislav]

\(\displaystyle{ (e^{z})^n=(e^{x+iy})^n=\left(e^x(\cos y+i\sin y) \right)^n=e^{nx}(i\sin y+\cos y)^n=e^{nx} \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}i^k \sin^k y \cos^{n-k}y}\)
no i teraz pozostaje pogrupować po parzystych i nieparzystych \(\displaystyle{ k}\).

-- 28 maja 2017, o 21:04 --

Właściwie to wcale tak nie trzeba robić (zwrócono mi na to uwagę), bo przecież
\(\displaystyle{ (e^{iy})^n=(\cos y+i\sin y)^n=e^{iny}=\cos(ny)+i\sin(ny)}\), więc część rzeczywista będzie równa \(\displaystyle{ e^nx \cos(ny)}\), zaś część urojona wyniesie \(\displaystyle{ e^{nx}\sin(ny)}\)

[KadoKa]

W tym rozwiązaniu wartość \(\displaystyle{ z}\) jest d potęgi \(\displaystyle{ n}\) a nie cała wartość \(\displaystyle{ e^{z}}\). Jednak nie da się tego zapisać z użyciem LaTeX-a. Załączam zdjęcie gdzie w drugiej linijce n przyjmuje wartość 2, zastanawiam się jak to będzie wyglądać dla dowolnej wartości n.

[a4karo]

E tam, sie nie da: \(\displaystyle{ e^{z^n}}\) (e^{z^n}