Oblicz wartość podanego wyrażenia

[karpiuch]

Mam problem z zadaniem:
Oblicz wartość podanego wyrażenia:

\(\displaystyle{ \frac{ \left( -1+ \sqrt{3} \right) ^{15} }{\left( 1-i\right)^{20} } + \frac{ \left( -1- \sqrt{3} \right) ^{15} }{\left( 1+i\right)^{20} }}\)

No i obliczyłem kolejno:
\(\displaystyle{ \left( -1+ \sqrt{3} \right) ^{15} = 2^{15}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1-i\right)^{20} = -2^{10}}\)
\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)^{20} = -2^{10}}\)

Natomiast wiem, że w tym: \(\displaystyle{ \left( -1- \sqrt{3} \right) ^{15}}\) mam błąd, sprawdziłem wartości na wolframie... Przedstawię to jak liczyłem:
\(\displaystyle{ z= -1- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 2}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \cos\varphi = -\frac{1}{2} \\\sin\varphi=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{array}}\)
Czyli \(\displaystyle{ z=2\left(\cos= \frac{7}{6}\pi +i\sin\frac{7}{6}\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ z^{15}=2^{15}\left(\cos= \frac{105}{6}\pi +i\sin\frac{105}{6}\pi \right) = 2^{15} \left( 0 -1i\right) = -2^{15}i}\)

Gdzie mam błąd? Bo liczę to już kolejny raz i dalej nie mam w ogóle pomysłu..

[Premislav]

A nie miało być \(\displaystyle{ \left(-1+\sqrt{3}i\right)^{15}}\)
I podobnie dalej \(\displaystyle{ \left( -1-\sqrt{3}i\right)^{15}}\)...

[karpiuch]

W sensie pokazać obliczenia wszystkich tych przypadków czy źle zrozumiałem?

[Premislav]

No, jak tam uważasz, chodzi mi o to, że co innego
\(\displaystyle{ -1-\sqrt{3}{\red i}}\), a co innego \(\displaystyle{ -1-\sqrt{3}}\). W treści konsekwentnie piszesz to drugie, a przeprowadzasz takie przekształcenia, jakby chodziło o to pierwsze.

[karpiuch]

Przepraszam, nie dopisałem tam \(\displaystyle{ i}\) i nie zauważyłem..
Jeszcze raz przepraszam.

[Premislav]

No to mamy
\(\displaystyle{ -1-i\sqrt{3}=2\left( \cos \frac{4}{3}\pi+i\sin \frac{4}{3}\pi \right)}\)
itd. - źle wyznaczyłeś argument kątowy (więc po zastosowaniu de Moivre'a inaczej to będzie wyglądać). Więcej błędów nie widzę.

[karpiuch]

Ależ gafa... Pomyliłem się przy wart. \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\)... Myślałem, że popełniam gdzieś błąd we wzorach redukcyjnych...

Kolejny raz dziękuję!