Równanie zespolone

[karpiuch]

Witam.

Muszę rozwiązać równanie zespolone (a wcześniej tego nie mieliśmy) i nie wiem do końca jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ z^{3}=\left( 1-i\right)^{4}}\)

Wpadłem na pomysł aby dojść do wyliczenia prawej strony za pomocą de Moivre'a, czyli:
\(\displaystyle{ z_{1} = 1-i \\
\left| z_{1}\right| = \sqrt{2} \\
\begin{cases} \cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin \varphi = \frac{-\sqrt{2}}{2} \end{cases}}\)
a więc \(\displaystyle{ z_{1}^{4}= 4\left( \cos 7\pi +i\sin 7\pi\right) = -4}\)

Czyli \(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{-4}}\)

No, ale co dalej.. Tutaj moja wiedza się kończy.
Myślałem o znajdowaniu pierwiastków teraz, ale nie jestem pewien czy o to chodzi.


Z góry dziękuję.

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ z^3=(1-i)^4=-4}\), to
\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-4} \cdot \left( \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3} \right),\\ k=0,1,2}\)
bo jeśli \(\displaystyle{ z^n=a^n}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a \in \CC}\), to
\(\displaystyle{ z=\xi_k a, k=1\dots n}\)
a \(\displaystyle{ \xi_k}\) to pierwiastki zespolone stopnia \(\displaystyle{ n}\) z jedynki.

[karpiuch]

Jedyne czego nie rozumiem tutaj to przejścia z \(\displaystyle{ z^3=(1-i)^4=-4}\) do \(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{-4} \cdot \left( \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3} \right)}\), skąd te wartości \(\displaystyle{ \sin, \cos}\).




e; już znalazłem, aczkolwiek we wzorze na pierwiastki jest \(\displaystyle{ \cos \frac{\varphi +2k\pi}{3} +i\sin \frac{\varphi+2k\pi}{3} \right)}\) i nie wiem gdzie się podziało \(\displaystyle{ \varphi}\).

[Premislav]

Mamy bowiem \(\displaystyle{ \varphi=0}\), gdyż
\(\displaystyle{ 1=\cos 0+i\sin 0}\)

[karpiuch]

Już myślałem, że mam pomysł skąd to się mogło wziąć, ale jednak to nie o to chodzi.



E: Rozumiem, chodzi o to, żeby z \(\displaystyle{ z^{3}=-4}\) zaszło \(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{-4}}\) to gdy mnożymy razy \(\displaystyle{ \cos0 + i\sin0}\) to się nic nie zmienia? Czy dalej w złym kierunku uciekam...

[Premislav]

Poczytaj, to może zrozumiesz:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pierwiastek_z_jedynki

Generalnie chodzi o to, że jeśli \(\displaystyle{ u}\) jest pierwiastkiem zespolonym stopnia \(\displaystyle{ n}\) z jedynki oraz \(\displaystyle{ w^n=z^n}\) dla pewnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ w,z}\), to także
\(\displaystyle{ (uw)^n=z^n}\)

[karpiuch]

Ja chyba jestem jakiś z lekka tępawy, bo w teorii niby coś podłapuję, w praktyce natomiast... Szkoda gadać.

Jak rozumiem \(\displaystyle{ w}\) to pierwiastki liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\) i dla pewnych \(\displaystyle{ w}\) zachodzi \(\displaystyle{ w^{n}=z^{n}}\). Czyli u nas \(\displaystyle{ w= \sqrt[3]{-4}}\), a \(\displaystyle{ \xi_k = \cos \frac{2k\pi}{3}+i\sin \frac{2k\pi}{3}}\) - te pierwiastki z jedynki? Czy chociaż trochę to pojąłem?

Muszę przyznać, że zdziwiło mnie to, bo mamy takie zadania do rozwiązania, a ani na wykładzie, ani na ćwiczeniach nie było nic wspominane o tym pierwiastku z jedynki.

[Premislav]

Tak, właśnie jest jak napisałeś. Cóż, jeśli tego nie było, to można to rozwiązać inaczej.
Obliczyłeś już, że \(\displaystyle{ (1-i)^4=-4}\). Czyli ma być
\(\displaystyle{ z^3=-4\\z^3+4=0\\z^3+(\sqrt[3]{4})^3=0\\(z+\sqrt[3]{4})(z^2-z\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4^2})=0}\)
skorzystałem po prostu ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów.
Teraz ten drugi nawias atakujesz licząc deltę (pamiętaj, że w zespolonych ujemna delta nas nie wzrusza, rozwiązaniami są wtedy \(\displaystyle{ \frac{-b\pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}}\)).

[karpiuch]

Niby szło, szło, ale gdzieś się zagmatwałem przy wyliczaniu tych \(\displaystyle{ z}\)...
\(\displaystyle{ \Delta = -3 \sqrt[3]{4}}\), więc \(\displaystyle{ z_{1} = \frac {\sqrt[3]{4} + i \sqrt{3 \sqrt[3]{16} }}{2}}\)
Natomiast gdzieś się gubię chyba w prostych przekształceniach, bo próbuję doprowadzić to do ładnej postaci (takiej jakby wyszła po zrobieniu pierwszym sposobem), bo mam potem \(\displaystyle{ z_{1}\frac{\sqrt[3]{4} +i \sqrt{3} \cdot 2^{ \frac{2}{3}}}{2}}\).. Czy ja czegoś nie widzę, czy źle przekształciłem?

e; No tak, nie widzę...
Bardzo, ale to bardzo dziękuję .