Hej Mam pytanko , czy prawdziwy jest taki wzór
\(\displaystyle{ |a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2\Re(ab)}\)
gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami zespolonymi ?
Jeśli tak, to proszę o jakieś źródło
prawdziwość wzoru dla modułu
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
prawdziwość wzoru dla modułu
Niech:
\(\displaystyle{ a=x+iy \wedge b=p+iq}\)
\(\displaystyle{ |a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2\Re(ab)\\
(x-p)^2+(y-q)^2=x^2+y^2+p^2+q^2-2(xp-yq)\\
-2xp-2yq=-2xp+2yq\\
4yq=0}\)
Wzór jest prawdziwy jeżeli choć jedna z liczb a,b jest rzeczywista. Jeżeli zarówno a, jak i b ma niezerową część urojoną to wzór prawdziwym nie jest.
\(\displaystyle{ a=x+iy \wedge b=p+iq}\)
\(\displaystyle{ |a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2\Re(ab)\\
(x-p)^2+(y-q)^2=x^2+y^2+p^2+q^2-2(xp-yq)\\
-2xp-2yq=-2xp+2yq\\
4yq=0}\)
Wzór jest prawdziwy jeżeli choć jedna z liczb a,b jest rzeczywista. Jeżeli zarówno a, jak i b ma niezerową część urojoną to wzór prawdziwym nie jest.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: prawdziwość wzoru dla modułu
Prawdziwy jest podobny wzór:
\(\displaystyle{ |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 \Re( a \overline{b} )}\)
bo
\(\displaystyle{ |a-b|^2 = (a-b)\overline{(a-b)} = (a-b)(\overline{a} - \overline{b}) = a \overline{a} - b \overline{a} - a \overline{b} + b \overline{b} = |a|^2 + |b|^2 - ( b \overline{a} + a \overline{b} )}\)
a jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ u = a \overline{b},}\) to
\(\displaystyle{ b \overline{a} + a \overline{b} = \overline{u} + u = 2 \Re u = 2 \Re( a \overline{b} ).}\)
\(\displaystyle{ |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 \Re( a \overline{b} )}\)
bo
\(\displaystyle{ |a-b|^2 = (a-b)\overline{(a-b)} = (a-b)(\overline{a} - \overline{b}) = a \overline{a} - b \overline{a} - a \overline{b} + b \overline{b} = |a|^2 + |b|^2 - ( b \overline{a} + a \overline{b} )}\)
a jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ u = a \overline{b},}\) to
\(\displaystyle{ b \overline{a} + a \overline{b} = \overline{u} + u = 2 \Re u = 2 \Re( a \overline{b} ).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
Re: prawdziwość wzoru dla modułu
Dasio11 dokładnie o ten wzór mi chodziło. Po prostu źle przepisałam