prawdziwość wzoru dla modułu

[Karolina93]

Hej Mam pytanko , czy prawdziwy jest taki wzór
\(\displaystyle{ |a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2\Re(ab)}\)

gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami zespolonymi ?
Jeśli tak, to proszę o jakieś źródło

[kerajs]

Niech:
\(\displaystyle{ a=x+iy \wedge b=p+iq}\)
\(\displaystyle{ |a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2\Re(ab)\\
(x-p)^2+(y-q)^2=x^2+y^2+p^2+q^2-2(xp-yq)\\
-2xp-2yq=-2xp+2yq\\
4yq=0}\)
Wzór jest prawdziwy jeżeli choć jedna z liczb a,b jest rzeczywista. Jeżeli zarówno a, jak i b ma niezerową część urojoną to wzór prawdziwym nie jest.

[Dasio11]

Prawdziwy jest podobny wzór:

\(\displaystyle{ |a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 \Re( a \overline{b} )}\)

bo

\(\displaystyle{ |a-b|^2 = (a-b)\overline{(a-b)} = (a-b)(\overline{a} - \overline{b}) = a \overline{a} - b \overline{a} - a \overline{b} + b \overline{b} = |a|^2 + |b|^2 - ( b \overline{a} + a \overline{b} )}\)

a jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ u = a \overline{b},}\) to

\(\displaystyle{ b \overline{a} + a \overline{b} = \overline{u} + u = 2 \Re u = 2 \Re( a \overline{b} ).}\)

[Karolina93]

Dasio11 dokładnie o ten wzór mi chodziło. Po prostu źle przepisałam