Płaszczyzna zespolona/ postać trygnonometryczna i potęgi

[Wikalaczka]

Witam serdecznie!

Proszę o sprawdzenie następujących zadań:

zad 1
Naszkicuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór A:
\(\displaystyle{ A = \left\{ z \in C: \frac{ \pi }{4} \le Arg(z) < \frac{3 \pi }{4} \wedge \left| z + 2 - i \right| \le 2 \right\}}\)

Przekształcam:
\(\displaystyle{ \left| z + 2 - i \right| \le 2 \\
\sqrt{ (x+2)^{2} + (y -1)^{2} } \le 2 / (...)^{2} \\
(x+2)^{2} + (y -1)^{2} \le 4 \\
S\left(-2,1 \right), r = 2}\)

I link do szkicu zbioru A :

zad 2
Wyznacz część rzeczywistą i urojoną z liczby z:

\(\displaystyle{ z = \left( -2\sqrt{3} + 2i \right)^{18} \\
z = -2\sqrt{3} + 2i \\
\left| z \right| = \sqrt{ (-2\sqrt{3})^{2} + (2)^{2} } = 4 \\
\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\sin \alpha = \frac{1}{2} \\
z^{18} = 4^{18} \left( \cos 15 \pi + i\sin 15 \pi \right) =4^{18} \left( 1 + 0 \cdot i\right) = 4^{18} \\
\Re z = 4^{18} \\
\Im z = 0}\)

Z góry dziękuje za pomoc.

[Premislav]

Zadanie pierwsze:

Rozwiązuje równanie

To nie jest równanie... W każdym razie przekształcenia poprawne, a szkic trochę zły, a to z tego względu, że jeśli \(\displaystyle{ S=(-2,1)}\) i \(\displaystyle{ r=1}\), to okrąg nie powinien być styczny do osi \(\displaystyle{ \Re}\), więc jest trochę za mały (za mały ma promień na Twoim rysunku).

Zadanie drugie:
cosinus trzeba zmienić, przecież wychodzi równy \(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{3}}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ -2\sqrt{3}+2i=4\left( \cos \frac{5}{6}\pi+i\sin \frac{5}{6}\pi \right)}\)
skorzystałem z tożsamości \(\displaystyle{ \cos(\pi-a)=-\cos(x)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin(\pi-x)=\sin x}\).
Dalej łatwo z de Moivre'a.

[Wikalaczka]

Czyli za szybko pomnożyłam ze wzoru, najpierw musi być redukcja a potem dopiero można użyć de Moivre'a ?

I w takim razie po redukcji powinno być \(\displaystyle{ -2\sqrt{3} + 2i = 4\left( -\cos3 \pi + i\sin3 \pi \right)}\) ?

Dziękuję za odpowiedź, przepraszam za błędne nazewnictwo jeśli chodzi o zadanie 1.

[Premislav]

\(\displaystyle{ -2\sqrt{3} + 2i = 4\left( -\cos3 \pi + i\sin3 \pi \right)}\)

Ojej, a to skąd wzięłaś?

[Wikalaczka]

ze wzoru \(\displaystyle{ z^{n} = \left| z\right|^{n} \left( \cos n \cdot \alpha + i \cdot \sin n \cdot \alpha \right)}\)

czyli podstawiając \(\displaystyle{ z^{18} = \left| z\right|^{18} \left( -\cos 18 \cdot \frac{ \pi }{6} + i \cdot \sin 18 \cdot \frac{ \pi }{6} \right)}\)

[Premislav]

Ale we wzorze de Moivre'a masz cosinus, a u Ciebie jest minus cosinus, więc tak nie można. Najpierw należy przejść do postaci \(\displaystyle{ z=r(\cos \alpha+i\sin \alpha)}\)
Poprawnie wyliczyłaś, że \(\displaystyle{ r=4}\), a ja Ci napisałem, jak zrobić ciąg dalszy:
\(\displaystyle{ \cos(\pi-x)=-\cos x}\) a ponadto \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac \pi 6}\) i podobne głupoty z sinusem, co zaowocuje równością
\(\displaystyle{ -2\sqrt{3}+2i=4\left( \cos \frac{5}{6}\pi+i\sin \frac{5}{6}\pi \right)}\),
którą przecież już poprzednio napisałem. Do tego zastosuj wzór de Moivre'a i wyjdzie.
Tj. \(\displaystyle{ \left\{4\left( \cos \frac{5}{6}\pi+i\sin \frac{5}{6}\pi \right)\right\}^{18}=\dots}\)
wg wzoru, który raczyłaś napisać.

[Wikalaczka]

Racja, rozumiem. Bardzo dziękuje!