Interpretacja geometryczna nierówności

[matematykiv]

\(\displaystyle{ z \in \CC : 0 < \text{arg}(z+i) \le \frac{\pi}{2}}\)
Czyli musimy znaleźć taką liczbę (zbiór liczb?) \(\displaystyle{ z}\),że \(\displaystyle{ \text{arg}(z+i)}\) jest większy od \(\displaystyle{ 0}\) i mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\). Następnie pokazać to graficznie.

\(\displaystyle{ |z+i| = \sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}}\)

\(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}}

\sin(\alpha) = \frac{y+1}{\sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}}}\)

Nas interesuje \(\displaystyle{ 0 < \text{arg}(z+i) \le \frac{\pi}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin(\alpha) > 0 \wedge \sin(\alpha) \le 1}\)
\(\displaystyle{ \cos(\alpha) < 1 \wedge \cos(\alpha) \ge 0}\)

Czyli trzeba znaleźć część wspólną:
\(\displaystyle{ 0< \frac{y+1}{\sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}} \le 1}\)
i
\(\displaystyle{ 0 \ge \frac{x}{\sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}} < 1}\)
z pierwszego wyjdzie nam
\(\displaystyle{ 0 < y+1 \le \sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}}\) i to będzie "przestrzeń" powyżej \(\displaystyle{ y = 0}\) i nad prostą \(\displaystyle{ y + 1}\)
natomiast z drugiego dostaniemy \(\displaystyle{ 0 \ge x < \sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}}\) i to jest sprzeczność.

Czyli mamy problem. Czy coś pokręciłem?

[pasman]

Spróbuj najpierw określić liczby spełniające nierówność

\(\displaystyle{ z \in \CC : 0 < \text{arg}(z) \le \frac{\pi}{2}}\)

następnie przesuń ten obszar o -i

[matematykiv]

Chyba coś mi się pomyliło, skoro \(\displaystyle{ 0 \ge x < \sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}}\) to to nie jest sprzeczność, tylko to jest spełnione dla każdych \(\displaystyle{ x,y}\) poza \(\displaystyle{ x=0 \wedge y = -1}\), prawda?

Czyli finalnie rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ x < 0 \wedge y > 0 \wedge y+1>0}\)?

[Janusz Tracz]

Za bardzo kombinujesz i niepotrzebnie wchodzisz w to że \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Pytasz o takie liczby \(\displaystyle{ z}\) dla których kąt skierowany jest z przedziału \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{ \pi }{2} \right]}\). Spróbuj wybrać kilka liczb i sprawdzić jak to działa rysunkowo nie trzeba nic liczyć.
A na samym końcu jeszcze jest to \(\displaystyle{ -i}\) ale to jest translacja o wektor \(\displaystyle{ [0,-1]}\) więc obszar przesunie się o jednostkę w "dół"