Zbieżność szeregu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
mariusz2413
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 4 mar 2017, o 13:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: mariusz2413 »

Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{ e^{1+4i}}{ \sqrt{n}}}\)

Wystarczy, że napiszę, że to szereg Dirichleta, gdzie \(\displaystyle{ \alpha <1}\) więc rozbieżny?

Oblicz sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{ e^{3ni}}{ 6^{n} }}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: a4karo »

A) tak
B) szereg geometryczny
mariusz2413
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 4 mar 2017, o 13:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: mariusz2413 »

W 2 wystarczy, że policzę \(\displaystyle{ \frac{1}{1- \frac{ e^{3i} }{6} }}\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: a4karo »

Jeszcze trzeba uzasadnić, że ten szereg jest zbiezny.
miodzio1988

Zbieżność szeregu

Post autor: miodzio1988 »

a4karo pisze:Jeszcze trzeba uzasadnić, że ten szereg jest zbiezny.
No jak ma sumę to już chyba pokazaliśmy zbieżność, nie?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: a4karo »

miodzio1988 pisze:
a4karo pisze:Jeszcze trzeba uzasadnić, że ten szereg jest zbiezny.
No jak ma sumę to już chyba pokazaliśmy zbieżność, nie?


Tak sobie. Trzeba jeszcze wiedzieć, że ta suma istnieje
Zastosowanie wzoru na sumę oczywiście nie wystracza, bo zgodne z tym wzorem
\(\displaystyle{ 1+2+4+8+...=-1}\)
miodzio1988

Zbieżność szeregu

Post autor: miodzio1988 »

Zastosowanie wzoru, a pokazanie, że szereg się sumuje to dwie inne rzeczy. Pokazaliśmy, że nasz szereg się sumuje, nie oznacza to, ze jest zbieżny?

I w liczeniu tej sumy mamy pewne założenia. [ciach] Bo tutaj piszesz tak jakbyś pomijał te założenia, [ciach]
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2017, o 22:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Wycieczki osobiste.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

Co to znaczy w ogóle "pokazaliśmy, że szereg się sumuje" Należy najpierw uzasadnić zbieżność (co tutaj jest proste, ale nie należy tego pomijać), a dopiero potem zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego.
miodzio1988

Zbieżność szeregu

Post autor: miodzio1988 »

Premislav pisze:Co to znaczy w ogóle "pokazaliśmy, że szereg się sumuje" Należy najpierw uzasadnić zbieżność (co tutaj jest proste, ale nie należy teog pomijać), a dopiero potem zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego.
Szereg się sumuje, ma skończoną sumę/wartość. Jeżeli mamy założenie na skorzystanie ze wzoru na sumę szeregu, pokażemy, że ta suma istnieje to musimy dalej zbieżność pokazywać? Wyznaczona suma nie daje nam tej odpowiedzi Adolf?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

No w tym wypadku daje nam odpowiedź, ale nieuzasadnioną, tj. jak ktoś tak napisze na kolosie, to może liczyć się ze stratą punktów.
Zobacz przykład z \(\displaystyle{ 1+2+4+8+\dots}\). Beztroskie stosowanie takich wzorów bez sprawdzenia założeń własnie do takich błędów może prowadzić.
Użycie wzoru bez sprawdzenia jego założeń nie jest tożsame z pokazaniem, że ta suma istnieje.
miodzio1988

Zbieżność szeregu

Post autor: miodzio1988 »

Beztroskie stosowanie takich wzorów bez sprawdzenia założeń własnie do takich błędów może prowadzić.
Nie stosujemy wzoru bez założeń. Jeżeli mariusz2413, zastosował ten wzór to wiedział, że założenia są spełnione. a4karo, oczywiście zamiast napisać, żeby wcześniej założenia sprawdził to zaczął mówić o zbieżności gdy suma już była wyznaczona co daje zbieżność przecież.

Zerknij sam jak robiłeś:
420104.htm#p5487600
i ze wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego
Podkreśliłeś to, że musi być zbieżny, czyli spełniać założenia.

Czyli jak a4karo, podpowiedział, że "szereg geometryczny" ,a w treści chodzi o wyznaczenie sumy to później dopominanie się o zbadanie zbieżności jest czepialstwem. Czemu od tego nie zaczął? Wyznacz sumę to z miejsca powinna iść podpowiedź, żeby zbadał zbieżność, a nie po wyznaczeniu sumy. [ciach]

-- 5 kwietnia 2017, 20:50 --

Pierwsza zatem powinna być wskazówka o zbieżności takiego szeregu prawda?

411188.htm#p5447272

410271.htm#p5442734

(no tutaj jest wyznaczona suma skąd wiemy, że ten szereg jest zbieżny? Błąd w zadaniu!! Dlaczego A4karo nie sprawdza zbieżności szeregu?)

390386.htm#p5353227

znowu brak mowy o zbieżności

Itd itd.
Ostatnio zmieniony 5 kwie 2017, o 23:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Wycieczki osobiste.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

Owszem, najpierw należałoby wspomnieć o sprawdzeniu zbieżności, a dopiero później o wzorze na sumę szeregu geometrycznego. Natomiast nie, to, że mariusz2413 zastosował wzór na sumę, nie znaczy, że wiedział, iż założenia są spełnione, a nawet nie znaczy, iż był świadom że są jakieś założenia potrzebne do stosowania tego wzoru (choć nie mówię, że nie wiedział - całkiem możliwe, że zdawał sobie z tego sprawę i uznał to za oczywiste, chodzi o reguły wnioskowania).
Mnie się wydaje (choć pewności nie mam), że mylisz pewne rzeczy: jeśli np. uzasadnimy zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{n}}\),
pokazując za pomocą sztuczek ze stałą Eulera-Mascheroniego bądź z uzyciem twierdzenia Abela, że
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty } \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2}\),
to mamy zbieżność szeregu, i znalezienie tej sumy (pokazanie, że ciąg sum częściowych zbiega do takiej granicy) jest wystarczającym uzasadnieniem, nie musimy dodatkowo bawić się z żadnym kryterium Leibniza itd.
Natomiast w sytuacji, gdy używamy wzoru, bez sprawdzenia założeń samo zastosowanie wzoru bez komentarza nie dowodzi, że suma jest właśnie taka (bo nie wiemy na pewno, czy ona w ogóle istnieje). Dobry jest przykład z sumą \(\displaystyle{ 1+2+4+8+\dots}\)
Używając wzoru na sumę szeregu geometrycznego, korzystamy z jego zbieżności, czyli z istnienia tej sumy. Wypadałoby to skomentować, natomiast zauważ, że na początku nie odpowiedziałeś na sugestię, iż należy jeszcze sprawdzić zbieżność w ten sposób, że "to zbytnie czepialstwo", tylko stwierdziłeś, że jak wstawiliśmy do wzoru na sumę i coś wyszło, to znaczy, że pokazaliśmy istnienie sumy. Jest to, delikatnie rzecz ujmując, nieprawda.-- 5 kwi 2017, o 21:40 --Więcej nie zamierzam o tym pisać. Może nie popełniłeś takiej omyłki, jak mi się wydawało (jeśli nie, to sorry, ale tak to napisałeś, że stworzyłeś takie wrażenie...), ale ja nie zamierzam dłużej się nad tym rozwodzić, bo wiem, że w tej sprawie mam rację i tyle.
miodzio1988

Zbieżność szeregu

Post autor: miodzio1988 »

Mnie się wydaje (choć pewności nie mam)
Pewności i racji nie masz, wybacz.

Podałem przykłady do których nawet się nie odwołałeś. Tam nie było sztuczek tylko korzystanie ze wzoru na zbieżny szereg geometryczny.

No oczywiście Pan Jan musiał te przykłady usunąć, nie no świetna moderacja muszę przyznać.

Oczywiście jak ja usunę post to admin mi go przywróci, bo zaburza ciągłość tematu. Jak ktoś inny odpowie i usunie post, a ja na ten post odpowiem i podam odpowiednie przykłady tematów to wszystko jest wywalone, super.

A jeden z tych tematów to był przykład jak a4karo się odnosił do innego szeregu geometrycznego bez sprawdzania i mowie o zbieżności. Ale nie chcę mi się tego szukać znowu
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Zbieżność szeregu

Post autor: Premislav »

No tutaj wydaje mi się, że Pan Kraszewski nie zrozumiał, jaką funkcję pełniły linki z przykładami (ani nie były one wyłącznie odpowiedzią na nieistniejący już post usera PoweredDragon, ani nie stanowiły elementu wycieczki osobistej). Każdy się może pomylić, nie ma co od razu z takim sarkazmem pisać o jakości moderowania.
miodzio1988 pisze:Zastosowanie wzoru, a pokazanie, że szereg się sumuje to dwie inne rzeczy. Pokazaliśmy, że nasz szereg się sumuje, nie oznacza to, ze jest zbieżny?
No to w końcu dwie inne, czy jedno i to samo? Przecież pojawiło się tu tylko zastosowanie wzoru.
Mam propozycję: przeproś za tę niespójność logiczną wypowiedzi i po temacie, nie ma co tego ciągnąć. Ja w każdym razie więcej się nie wypowiem, i tak teraz piszę tylko dlatego, że nie spodobał mi się ironiczny podjazd w kierunku JK.
miodzio1988

Zbieżność szeregu

Post autor: miodzio1988 »

Każdy się może pomylić, nie ma co od razu z takim sarkazmem pisać o jakości moderowania.
To należy sprawdzić coś co się usuwa.

No to w końcu dwie inne, czy jedno i to samo? Przecież pojawiło się tu tylko zastosowanie wzoru.
Brakuje argumentów to wracasz kilka postów do tyłu?
Zastosowanie wzoru było poprawne i dało informacje o zbieżności szeregu. Jeżeli ktoś po tym zabiegu pyta się o zbieżność to jak taką osobę nazwać?
Mam propozycję: przeproś za tę niespójność logiczną wypowiedzi i po temacie, nie ma co tego ciągnąć. Ja w każdym razie więcej się nie wypowiem, i tak teraz piszę tylko dlatego, że nie spodobał mi się ironiczny podjazd w kierunku JK.
No i Twoje odpowiedzi szczerze mówiąc nie były potrzebne. Dałeś ten sam przykład co a4karo, obaj skupiliście się na mnie, a nie na osobie, która temat założyła. Typowe.

Tak jak już pisałem, teraz pod każdym postem gdzie jest pytanie o sumę szeregu macie pisać z miejsca o zbieżności. Tutaj też się to powinno pojawić od razu (Waszym zdaniem), a jednak tego nie było. Więc przeprosiny się należą osobie, która temat założyła z Waszej strony-- 5 kwietnia 2017, 22:24 --410271.htm#p5442734

O tym temacie mówiłem i ten temat to doskonałe podsumowanie działalności a4 i tego czepialstwa o którym mówiłem.

Pozdrawiam
Zablokowany