rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste, dowód

[darkknight]

Wykaż że, jeśli: \(\displaystyle{ g\left( z\right)=\left( z - z_{1} \right) \cdot ... \cdot \left( z -z _{n} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in N}\) oraz \(\displaystyle{ z _{z},...,z _{n}}\) są różnymi liczbami zespolonymi, to współczynniki rozkładu \(\displaystyle{ \frac{f\left( z\right) }{g\left( z\right) } = \frac{a _{1} }{z-z_{1}} + ... + \frac{a _{n} }{z-z_{n}}}\) wyrazaja się wzorami"
\(\displaystyle{ a _{i}= \frac{f\left( z _{i} \right)}{g'\left( z _{i} \right) }}\) dla \(\displaystyle{ i = 1,...,n}\)

Czy ktoś potrafi to udowodnić ?

Doszedłem tylko do czegoś takiego"
\(\displaystyle{ f\left( z _{i} \right)=a _{i} \cdot \left( z _{i} - z _{i-1} \right)\left( z _{i}-z _{i+1}\right) \cdot ... \cdot \left( z _{i}-z _{n} \right)}\)

\(\displaystyle{ \left( z _{i} - z _{i-1} \right)\left( z _{i}-z _{i+1} \cdot ... \cdot \left( z _{i}-z _{n} \right) \right) = g'\left( z _{i} \right)}\) ??

[a4karo]

Pomnóż obie strony rozkładu przez \(\displaystyle{ z-z_i}\) i oblicz granicę tego przy \(\displaystyle{ z\to z_i}\)

[darkknight]

Pomnóż obie strony rozkładu przez \(\displaystyle{ z-z_i}\) i oblicz granicę tego przy \(\displaystyle{ z\to z_i}\)

Czy mółgbyś proszę konkretniej wskazać co mam przez co przemnożyć ? Gubi mnie trochę to że uzyłes \(\displaystyle{ z _{i}}\) a w rozkladzie mamy \(\displaystyle{ z _{n}}\). Zresztą nie wiem czy potrafię tak przmnżyć caly rozkład przez \(\displaystyle{ z-z_i}\), bo w kazdym mianowniku rozłożonej funkcji jest inne \(\displaystyle{ z-z_i}\).

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{f\left( z\right) }{g\left( z\right) } = \frac{a _{1} }{z-z_{1}} + ... + \frac{a _{n} }{z-z_{n}}}\)
A jak myślisz, co tam jest wykropkowane?
Dziwne, że nie zadałeś tego pytania w momencie gdy pisałes treśc zadania. Przecież tam jest \(\displaystyle{ i}\)

Ustal sobie \(\displaystyle{ i}\).
Zrób to ćwiczenie dla \(\displaystyle{ i=1}\)