Jak rozwiązać te nierówności?
a) \(\displaystyle{ z^{11}= \overline{z}}\)
b) \(\displaystyle{ 4z=\left( \overline{z}\right)^{3}}\)
Proszę o pomoc.
Pierwiastek liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 14 gru 2016, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Pierwiastek liczby zespolonej
Przecież to są równania, nie zaś nierówności.
a) proponuję postać wykładniczą: niech \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), wówczas
\(\displaystyle{ z^{11}=r^{11}e^{11i\varphi}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline z=re^{-i\varphi}}\). Dostajesz zatem układ równań (\(\displaystyle{ r \in (0,+\infty), \varphi \in \RR}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11\varphi=-\varphi+2k\pi, k \in \ZZ \end{cases}}\)
b) spróbuj tak samo.
a) proponuję postać wykładniczą: niech \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), wówczas
\(\displaystyle{ z^{11}=r^{11}e^{11i\varphi}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline z=re^{-i\varphi}}\). Dostajesz zatem układ równań (\(\displaystyle{ r \in (0,+\infty), \varphi \in \RR}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11\varphi=-\varphi+2k\pi, k \in \ZZ \end{cases}}\)
b) spróbuj tak samo.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 14 gru 2016, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
Pierwiastek liczby zespolonej
Dziękuje, masz racje ze można to rozwiązać w ten sposób, ale jest tez i inny ktory poznałem. umieszakm ponizej oba:
I sposób:
\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}\\
\left|z\right|^{11} \cdot e^{j11\alpha } = \left| z\right| \cdot e ^{-j \alpha }
z=0 \vee \left( \left| z\right|=1 \wedge e ^{j11 \alpha }=e ^{-j \alpha } \right)
\Rightarrow 11 \alpha = - \alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{k\pi}{6} , k=0,1,...,11}\)
II sposób:
\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}\\
\left| z ^{11} \right| = \left| \overline{z}\right| \\}\)
skorzystamy z: \(\displaystyle{ \left| \overline{z}\right|=\left| z\right|}\). Więc:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{11} =\left| z\right| \\
\left| z\right| \left( \left| z\right| ^{10}-1 \right)=0\\
1) \\
\left| z\right| = 0 \\
2) \\
\left| z\right| =1\\
z ^{11} = \overline{z}\\
z ^{12} = \overline{z} \cdot z\\}\)
wiemy że: \(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z = \left| z\right|}\), więc:
\(\displaystyle{ z ^{12} = 1\\
z= \sqrt[12]{1}}\)
Rozwiązania są pokazane na wykresie okręgu o premieniu 1
Drugie zadanie też można rozwiązać na te dwa sposoby:))
I sposób:
\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}\\
\left|z\right|^{11} \cdot e^{j11\alpha } = \left| z\right| \cdot e ^{-j \alpha }
z=0 \vee \left( \left| z\right|=1 \wedge e ^{j11 \alpha }=e ^{-j \alpha } \right)
\Rightarrow 11 \alpha = - \alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{k\pi}{6} , k=0,1,...,11}\)
II sposób:
\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}\\
\left| z ^{11} \right| = \left| \overline{z}\right| \\}\)
skorzystamy z: \(\displaystyle{ \left| \overline{z}\right|=\left| z\right|}\). Więc:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{11} =\left| z\right| \\
\left| z\right| \left( \left| z\right| ^{10}-1 \right)=0\\
1) \\
\left| z\right| = 0 \\
2) \\
\left| z\right| =1\\
z ^{11} = \overline{z}\\
z ^{12} = \overline{z} \cdot z\\}\)
wiemy że: \(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z = \left| z\right|}\), więc:
\(\displaystyle{ z ^{12} = 1\\
z= \sqrt[12]{1}}\)
Rozwiązania są pokazane na wykresie okręgu o premieniu 1
Drugie zadanie też można rozwiązać na te dwa sposoby:))