Pierwiastek liczby zespolonej

[darkknight]

Jak rozwiązać te nierówności?

a) \(\displaystyle{ z^{11}= \overline{z}}\)
b) \(\displaystyle{ 4z=\left( \overline{z}\right)^{3}}\)

Proszę o pomoc.

[Premislav]

Przecież to są równania, nie zaś nierówności.

a) proponuję postać wykładniczą: niech \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), wówczas
\(\displaystyle{ z^{11}=r^{11}e^{11i\varphi}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline z=re^{-i\varphi}}\). Dostajesz zatem układ równań (\(\displaystyle{ r \in (0,+\infty), \varphi \in \RR}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^{11}=r \\ 11\varphi=-\varphi+2k\pi, k \in \ZZ \end{cases}}\)

b) spróbuj tak samo.

[darkknight]

Dziękuje, masz racje ze można to rozwiązać w ten sposób, ale jest tez i inny ktory poznałem. umieszakm ponizej oba:

I sposób:

\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}\\
\left|z\right|^{11} \cdot e^{j11\alpha } = \left| z\right| \cdot e ^{-j \alpha }

z=0 \vee \left( \left| z\right|=1 \wedge e ^{j11 \alpha }=e ^{-j \alpha } \right)
\Rightarrow 11 \alpha = - \alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \frac{k\pi}{6} , k=0,1,...,11}\)

II sposób:

\(\displaystyle{ z^{11}=\overline{z}\\
\left| z ^{11} \right| = \left| \overline{z}\right| \\}\)
skorzystamy z: \(\displaystyle{ \left| \overline{z}\right|=\left| z\right|}\). Więc:
\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{11} =\left| z\right| \\
\left| z\right| \left( \left| z\right| ^{10}-1 \right)=0\\

1) \\
\left| z\right| = 0 \\
2) \\
\left| z\right| =1\\
z ^{11} = \overline{z}\\
z ^{12} = \overline{z} \cdot z\\}\)


wiemy że: \(\displaystyle{ \overline{z} \cdot z = \left| z\right|}\), więc:

\(\displaystyle{ z ^{12} = 1\\
z= \sqrt[12]{1}}\)

Rozwiązania są pokazane na wykresie okręgu o premieniu 1

Drugie zadanie też można rozwiązać na te dwa sposoby:))