Liczby zespolone

[patrycjaaa]

Zaczynam liczby zespolone Czy ktoś może sprawdzic czy otrzymuje poprawne wyniki?

1) \(\displaystyle{ z ^{2} + \overline{z}= 0}\)

wyszło mi

\(\displaystyle{ z= \begin{cases} \frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3} }{2}i \\ \frac{1}{2}+ \frac{ \sqrt{3} }{2}i \end{cases}}\)


2) \(\displaystyle{ \left| z \right| + z =1 + 2i}\)

\(\displaystyle{ z= - \frac{3}{2} + 2 i}\)
dobrze?

[tomwanderer]

Pokaż swoje rozwiązanie. Jeżeli jest błędne, wskażemy błąd. A nawet jeżeli jest poprawne, być może ktoś będzie w stanie zasugerować prostszy i krótszy sposób.
Nie oczekuj jednak, że ktoś będzie to rozwiązywał. Szanujmy swój czas.

O proszę, a jednak jest rozwiązanie.

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ z = x+yi}\)

Możemy sobie rozpisać:

\(\displaystyle{ (x+yi)^2+x-yi = 0}\)
Rozwijamy:
\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2+x-yi = 0}\)

I mamy dwa równanka:
\(\displaystyle{ x^2 - y^2 + x = 0 \wedge 2xyi-yi = 0}\)
\(\displaystyle{ y(2x-1) = 0 \wedge x^2 - y^2 + x = 0}\)

\(\displaystyle{ \left[ y = 0 \vee x = \frac{1}{2} \right] \wedge x^2 - y^2 + x = 0}\)

Rozdzielność koniunkcji względem alternatywy pozostawia nam:

\(\displaystyle{ y = 0 \wedge x(x+1) = 0 \vee x = \frac{1}{2} \wedge y=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

A z tego znowu:

\(\displaystyle{ [y=0 \wedge x = 0] \vee [y=0 \wedge x = -1] \vee [y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \wedge x = \frac{1}{2}]}\)

I to są wszystkie rozwiązania dla 1)

\(\displaystyle{ \left| z \right| + z = 1 + 2i}\)
Klasycznie:
\(\displaystyle{ z = x+yi}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x+yi = 1 +2i}\)

A z tego oczywiście wprost:
\(\displaystyle{ y = 2}\)

Dalej:

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+4}+x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+4} = 1 - x}\)
\(\displaystyle{ x^2+4 = x^2-2x+1}\)
\(\displaystyle{ 2x = -3}\)
\(\displaystyle{ x = -\frac{3}{2}}\)