Problem z pierwiastkiem

[konrad180]

mam zadanko w którym musze rozwiazać takie działanie : \(\displaystyle{ (z-1)^{6}=8}\) i kompletnie nie wiem co zrobić przez tą jedynke przy z .. :/ prosze o pomoclub chociaż nakierowanie

[Premislav]

Jeżeli tylko ta jedynka Ci przeszkadza, to po prostu podstaw \(\displaystyle{ w=z-1}\) i dalej lecisz znanym schematem.

[konrad180]

czyli \(\displaystyle{ z=\sqrt [6] {8}-1}\) i jak z tego moduł wyliczyć ?

[Premislav]

Ojej, ale po co coś takiego? Poza tym w zespolonych to nie bardzo jest prawdą.

Myślałem o czymś takim:
podstawiamy \(\displaystyle{ w=z-1}\). Równanie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ w^6=8}\)
Niechaj \(\displaystyle{ w=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)}\). Wówczas ze wzoru de Moivre'a mamy:
\(\displaystyle{ w^6=r^6(\cos(6\varphi)+i\sin (6\varphi))=8(\cos 0+i\sin 0)}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6\varphi=2k\pi, k \in \ZZ \\ r^6=8 \end{cases}}\)
i to rozwiązujesz.
Po wyliczeniu tego syfu do rozwiązań dodajesz oczywiście jedynkę, gdyż
\(\displaystyle{ w=z-1 \Leftrightarrow z=w+1}\)

[konrad180]

Niestety chodzi o to że u nas Pani profesor takiej metody nie przyjmnie nie poruszaliśmy postaci wykładniczej więc jakaś inna metoda musi być ... :/

[AiDi]

To nie jest postać wykładnicza, tylko trygonometryczna i innej metody to ja właściwie nie widzę. No może oprócz podstawienia \(\displaystyle{ w=a+ib}\) i podniesienia tego do potęgi \(\displaystyle{ 6}\) i takich tam, ale to wtedy można by pozwać panią profesor za znęcanie się.

[konrad180]

No okey bede walczył : D dzięki panowie

[Premislav]

Można też tak (zaznaczam, że mnie się ten sposób nie podoba, bo jest bardziej rachunkowy i mało uniwersalny - potęgi siedemnastej już tak nie rozwalimy):
\(\displaystyle{ (z-1)^6=8\\(z-1)^6-(\sqrt{2})^6=0\\((z-1)^3+(\sqrt{2})^3)((z-1)^3-(\sqrt{2})^3)=0}\)
Skorzystałem ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

Następnie używając wzorów na sumę i różnicę sześcianów, można to badziewie po lewej rozłożyć jeszcze na iloczyn wielomianów stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ 2}\), a potem nawalamy deltę itd.