liczba zespolona w różnych postaciach

[_Rebel_]

Dobry,
mam przedstawić liczbę zespoloną \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i} }}\) w każdej możliwej postaci.
jako \(\displaystyle{ a + bi}\) wyszło mi \(\displaystyle{ -2i^{ \frac{5}{3} }}\)
czy jak przy \(\displaystyle{ i}\) jest coś innego niż pierwsza potęga to mogę to normalnie przedstawić jako parę punktów \(\displaystyle{ \left( 0, -2i^{ \frac{5}{3} } \right)}\) ?
Jak się ma taka potęga do zapisu w postaci trygonometrycznej?
Wszystko co do tej pory miałem, miało \(\displaystyle{ i}\) w \(\displaystyle{ 1}\) potędze, więc prosiłbym o pojaśnienie co i jak.

[tometomek91]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{8}{i}=\frac{8i}{i^2}=-8i=8 \left(\cos{ \frac{3 \pi}{2}} +i \sin{\frac{3 \pi}{2}} \right)}\)

Pierwiastki to:

\(\displaystyle{ z_0=2 \left(\cos{ \frac{3 \pi}{6}} +i \sin{\frac{3 \pi}{6}} \right)=2i\\
z_1=2 \left(\cos{ \frac{5 \pi}{6}} +i \sin{\frac{5 \pi}{6}} \right)=-\sqrt{3}+i\\
z_2=2 \left(\cos{ \frac{7 \pi}{6}} +i \sin{\frac{7 \pi}{6}} \right)=-\sqrt{3}-i\\}\)

[Janusz Tracz]

Proponuję zapisać to tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i} }= \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-i}=-2 \sqrt[3]{i}}\)

Z czego interesują Cię tylko \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) inaczej mówiąc liczby takie że podniesione do \(\displaystyle{ 3}\) dadzą \(\displaystyle{ i}\). Są takie trzy. Łatwo je znaleźć jak zapiszemy :

\(\displaystyle{ i=e^{i \frac{ \pi }{2}+2k \pi i }}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

Co po spierwiastkowaniu da

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}=e^{i \frac{ \pi }{6}+ \frac{2}{3}k \pi i }}\) dla \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)

Teraz wystarczy tylko wykorzystać wzór :

\(\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi}\)

Wystarczy wstawić. Postać wykładniczą już masz tak samo trygonometryczną z powyższego wzoru. Postać algebraiczną dostaniesz jak zamienisz \(\displaystyle{ \sin}\) i \(\displaystyle{ \cos}\) z powuższego wzoru nie będzie to trudne bo wartości tych funkcji są znane.

[_Rebel_]

@Janusz Tracz
to jest jakiś wzór na liczenie pierwiastków \(\displaystyle{ i}\)?
\(\displaystyle{ i=e^{i \frac{ \pi }{2}+2k \pi i }}\)
pierwszy raz widzę takie coś
edit: i skąd wiemy że te liczby to \(\displaystyle{ 0, 1, 2}\)?

[miodzio1988]

wzór de Moivre'a sprawdz

[Janusz Tracz]

To jest wniosek ze wzoru \(\displaystyle{ e^{i\phi}=\cos\phi+i\sin\phi}\).
Mamy coś takiego

\(\displaystyle{ e^{i \frac{ \pi }{2}+2k \pi i }=\cos\left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right) +i\sin\left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi\right)=0+i \cdot 1=i}\)

Ułatwia on często liczenie pierwiastków. Wolę jednak interpretację graficzną tego wzoru, mamy \(\displaystyle{ e^{i\phi}}\) oznacza że na okręgu jednostkowym obróciliśmy się o kąt \(\displaystyle{ \phi}\) widać wtedy że jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{2}}\) to obrót zakończy się na \(\displaystyle{ i}\).
Podobnie :

\(\displaystyle{ e^{i \pi }=-1}\)

\(\displaystyle{ e^{i \frac{3}{2} \pi }=-i}\)

\(\displaystyle{ e^{-i \frac{ \pi }{2} }=-i}\)

A obrót o kąt \(\displaystyle{ 2k \pi}\) nic nie zmienia bo to zaroszenie całego okręgu

\(\displaystyle{ e^{2k \pi i}=1}\)

[_Rebel_]

Mhm, czyli mam wyciągnąć 3 pierwiastki z \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i} }}\), zapisać każdy w postaci trygonometrycznej, zrobić z każdego \(\displaystyle{ a + bi}\) i potem zapisać jako parę liczb.
Tak to ma wyglądać?

[Janusz Tracz]

Tak ale możesz prościej. Albo tak jak pokazał tometomek91, albo tak jak pokazałem ja. Moja metoda wymaga znalezienia pierwiastka trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ i}\) i to właściwie masz już zrobione. Potem postać trygonometryczna (to też już masz) i na koniec algebraiczna. Jeśli w zadaniu wymagają pokazania jeszcze postaci \(\displaystyle{ (a,b)}\) no to z algebraicznej po prostu sczytasz ile to jest. Wzór de Moivre'a też może Ci pomóc to zrozumieć bo większość już masz rozwiązane.

[_Rebel_]

ok, dzięki wielkie
siedziałem nad tym pół godziny i nie wiedziałem co mam z tym robić
i w sumie jeszcze jedno: \(\displaystyle{ \frac{8}{i}=\frac{8i}{i^2}=-8i=8 \left(\cos{ \frac{3 \pi}{2}} +i \sin{\frac{3 \pi}{2}} \right)}\) nie ma znaczenia że to jest pod pierwiastkiem?
edit: nieważne, nie wyrabiam z niewyspania, teraz widzę
wiem skąd 2 się wzięło, a reszta tych liczb z \(\displaystyle{ \pi}\)?

[Janusz Tracz]

To ma znaczenie. dopiero potem został na to nałożony pierwiastek i właśnie dlatego jest Ci potrzebny wzór de Moivre'a (jeśli korzystasz z tego rozwiązania).

\(\displaystyle{ \frac{8}{i} =8 \left(\cos{\left( \frac{3 \pi}{2}+2k \pi \right) } +i \sin{\left( \frac{3 \pi}{2}+2k \pi \right) } \right)}\)

jak to spierwiastkujesz :

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{8}{i} }=2 \cdot\left(\cos{\left( \frac{3 \pi}{6}+ \frac{2}{3} k \pi \right) } +i \sin{\left( \frac{3 \pi}{6}+ \frac{2}{3} k \pi \right) \right) } \right)}\)

[_Rebel_]

Czyli jak pierwiastkuje funkcję tryg to dzielę argument przez stopień pierwiastka?
Tak w skrócie?

[Janusz Tracz]

A czy zobaczyłeś wzór de Moivre'a ?

[_Rebel_]

Ten wzór żeby przejść z trygonometrycznej na n -tą potęgę?
Tak, wiem o co z tym chodzi.

[Janusz Tracz]

Nie ten:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r

... %E2%80%99a

[_Rebel_]

Wlaśnie o ten mi chodziło.
Spojrzałem parę razy i widzę o co chodzi. Ta 8 jest do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).
czyli argument sinusa i cosinusa trzeba pomnożyć razy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).