Rownanie zespolone i wynik na plaszczyznie zespolonej

[Miszczwoda]

Dobry wieczór, mam problem z następującym równaniem:
\(\displaystyle{ (z-\bar{z})^{2}-4(z-\bar{z})=0}\)
Po przekształceniach z i jego sprzężenień w \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ iy}\), mam taką postać:
\(\displaystyle{ -4 y^{2}-8iy=0}\), którą powinnam nanieść na płaszczyznę zespoloną.
I nie wiem jak interpretować brak \(\displaystyle{ x}\) - to znaczy, ze mam zaznaczyć całą płaszczyznę, bo każdą liczbę mogę wstawić za \(\displaystyle{ x}\)?

[Premislav]

Dobry wieczór.

Ja bym to zadanie robił tak: podstawmy \(\displaystyle{ t=z-\overline z}\), dostajemy wówczas
\(\displaystyle{ t^2-4t=0}\), czyli \(\displaystyle{ t=0 \vee t=4}\). A zatem
1) \(\displaystyle{ z-\overline z=0}\)
lub
2) \(\displaystyle{ z-\overline z=4}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ z-\overline z=2i \Im z}\), stąd
\(\displaystyle{ \Im z=0 \vee \Im z=-2i}\), to drugie jest sprzeczne, bo część urojona jest zawsze liczbą rzeczywistą, stąd rozwiązaniem tego równania są wszystkie liczby rzeczywiste.

Zresztą Twoje przekształcenia prowadzą do tego samego wniosku. Po prostu nie masz żadnego warunku na część rzeczywistą (może być dowolna), ale całej płaszczyzny zespolonej nie będzie, bo dalej z tego masz \(\displaystyle{ -4y(y+2i)=0}\). Z tego wychodzą Ci te same warunki na część urojoną, co u mnie.

[Miszczwoda]

Oo dzięki wielkie za pomoc - czyli moim rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ Im z=0}\) i żeby to nanieść na płaszczyznę to po prostu zaznaczyć oś Y(czyli Im)? Bo w sumie za bardzo nie rozumiem tego zadania, zawsze miałam jakieś równanie, które przechodziły na równanie okręgu lub zostawało mi samo np.\(\displaystyle{ x>4}\), a teraz na kolokwium zaskoczył mnie czymś takim.

[Premislav]

No nie do końca, aby zilustrować odpowiedź, na płaszczyźnie Gaussa zaznaczasz oś \(\displaystyle{ X}\) (odpowiadającą części rzeczywistej), podobnie jak na płaszczyźnie kartezjańskiej gdy zaznaczasz rozwiązania \(\displaystyle{ y=0}\), to chodzi Ci o oś \(\displaystyle{ OX}\).