Narysuj zbiór zadany równaniem

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
malasaharka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 17 sty 2017, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Narysuj zbiór zadany równaniem

Post autor: malasaharka »

Cześć.

Mógłby ktoś pomóc mi w rozwiązaniu takiego zadania?

Narysuj zbiór:
\(\displaystyle{ z^3-\overline z^3=0}\)

Wychodzi mi z tego:
\(\displaystyle{ z = \overline z
\newline a+bi = a-bi
\newline b = -b \Leftrightarrow b = 0}\)


Czyli \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) i liczba jest w pełni rzeczywista... Miałoby to jakiś sens, czy wszystko pokręciłam?
Ostatnio zmieniony 14 lut 2017, o 19:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Narysuj zbiór zadany równaniem

Post autor: NogaWeza »

Kłamiesz. Nie możesz sobie tak obustronnie pierwiastkować, bo pierwiastek z liczby zespolonej to zbiór, a nie liczba. Przykład:

\(\displaystyle{ 1^4 = 1}\)

\(\displaystyle{ i^4 = 1}\)

Czy to znaczy, że \(\displaystyle{ 1 = i}\)? Nie.


Przejdźmy na postać wykładniczą.

\(\displaystyle{ |z|^3 e^{3i \varphi} = |z|^3 e^{-3i \varphi}}\), moduł się zgadza, pozostaje argument


\(\displaystyle{ 3 \varphi = -3\varphi + 2k \pi}\) - trzeba pamiętać o okresowości, stąd \(\displaystyle{ 2k \pi}\)

\(\displaystyle{ 6 \varphi = 2k \pi}\)

\(\displaystyle{ \varphi = \frac{k \pi}{3}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
malasaharka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 17 sty 2017, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Narysuj zbiór zadany równaniem

Post autor: malasaharka »

Oj, tak mi się coś zdawało, że podejrzanie łatwo mi poszło. Ok, rozumiem, dobry przykład
NogaWeza pisze: \(\displaystyle{ \varphi = \frac{k \pi}{3}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\)
Czyli ten zbiór to wszystkie liczby zespolone o argumencie będącym wielokrotnością \(\displaystyle{ 120$^{\circ}$}\)?

A rysujemy go na płaszczyźnie dwuwymiarowej jako takie trzy nieskończone półproste zaczepione w środku układu współrzędnych o kątach \(\displaystyle{ \varphi_{1} = 0$^{\circ}$ \varphi_{2} = 120$^{\circ}$ \varphi_{3} = 240$^{\circ}$}\), dobrze zgaduję?
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Narysuj zbiór zadany równaniem

Post autor: NogaWeza »

No prawie, bo \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}}\), więc za mało tych półprostych
ODPOWIEDZ