Znajdź moduły i fazy liczb zespolonych powstałych z pierwiastków równania:
\(\displaystyle{ z ^{2}=(1+i) ^{i}}\)
Moduł i faza
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Moduł i faza
Po raz któryś widzę pojęcie fazy i dalej nie wiem co to jest; chodzi o argument? Tak?
\(\displaystyle{ z = w^i}\)
\(\displaystyle{ w = 1+i = \left| w \right| ( \cos \phi + i \sin \phi ) = \left| w \right| e^{\phi i}}\)
A z tego oczywiście widzimy, że \(\displaystyle{ \cos \phi = \sin \phi = \frac{ \left| w \right| }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Będę się bawił na argumencie głównym, po co się męczyć.
Tak więc \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{4}}\)
Oraz \(\displaystyle{ z^2 = (\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i})^i}\)
Lewa strona nas na razie nie obchodzi, prawa natomiast:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^i \cdot e^{-\frac{\pi}{4}} =e^{i \ln{\sqrt{2}}} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}}}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ z^2 = e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \ln{\sqrt{2}}}\)
Masz więc:
\(\displaystyle{ \phi_z = \frac{ \ln{\sqrt{2}}}{2} + k \pi}\)
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 0, 1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left| z \right| = e^{-\frac{\pi}{8}}}\)
Raczej niczego nie pokręciłem, ale znając mnie...
\(\displaystyle{ z = w^i}\)
\(\displaystyle{ w = 1+i = \left| w \right| ( \cos \phi + i \sin \phi ) = \left| w \right| e^{\phi i}}\)
A z tego oczywiście widzimy, że \(\displaystyle{ \cos \phi = \sin \phi = \frac{ \left| w \right| }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Będę się bawił na argumencie głównym, po co się męczyć.
Tak więc \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{4}}\)
Oraz \(\displaystyle{ z^2 = (\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i})^i}\)
Lewa strona nas na razie nie obchodzi, prawa natomiast:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}^i \cdot e^{-\frac{\pi}{4}} =e^{i \ln{\sqrt{2}}} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}}}\)
I dalej:
\(\displaystyle{ z^2 = e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \ln{\sqrt{2}}}\)
Masz więc:
\(\displaystyle{ \phi_z = \frac{ \ln{\sqrt{2}}}{2} + k \pi}\)
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 0, 1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left| z \right| = e^{-\frac{\pi}{8}}}\)
Raczej niczego nie pokręciłem, ale znając mnie...