Moduł i faza

[Gotek]

Znajdź moduły i fazy liczb zespolonych powstałych z pierwiastków równania:
\(\displaystyle{ z ^{2}=(1+i) ^{i}}\)

[PoweredDragon]

Po raz któryś widzę pojęcie fazy i dalej nie wiem co to jest; chodzi o argument? Tak?

\(\displaystyle{ z = w^i}\)
\(\displaystyle{ w = 1+i = \left| w \right| ( \cos \phi + i \sin \phi ) = \left| w \right| e^{\phi i}}\)

A z tego oczywiście widzimy, że \(\displaystyle{ \cos \phi = \sin \phi = \frac{ \left| w \right| }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Będę się bawił na argumencie głównym, po co się męczyć.

Tak więc \(\displaystyle{ \phi = \frac{\pi}{4}}\)

Oraz \(\displaystyle{ z^2 = (\sqrt{2} e^{\frac{\pi}{4} i})^i}\)


Lewa strona nas na razie nie obchodzi, prawa natomiast:

\(\displaystyle{ \sqrt{2}^i \cdot e^{-\frac{\pi}{4}} =e^{i \ln{\sqrt{2}}} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}}}\)

I dalej:
\(\displaystyle{ z^2 = e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot e^{i \ln{\sqrt{2}}}\)

Masz więc:

\(\displaystyle{ \phi_z = \frac{ \ln{\sqrt{2}}}{2} + k \pi}\)
\(\displaystyle{ k \in \left\{ 0, 1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ \left| z \right| = e^{-\frac{\pi}{8}}}\)

Raczej niczego nie pokręciłem, ale znając mnie...