Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
jack1866
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 lis 2014, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Równanie zespolone

Post autor: jack1866 »

Rozwiąż równanie w zbiorze liczb zespolonych.

\(\displaystyle{ z ^{3}=-\overline z}\)

Rozpisałem to, korzystając ze wzoru de Moivre'a, ale niestety utknąłem w martwym punkcie. Prosiłbym o wytłumaczenie jak należy robić tego typu równania.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Równanie zespolone

Post autor: Premislav »

Niech \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), wówczas \(\displaystyle{ z^3=r^3 e^{3i\varphi}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline z=re^{-i\varphi}}\),
z porównania modułów i argumentów kątowych (to pierwsze z uwzględnieniem tego, że moduł jest nieujemny, a to drugie - z uwzględnieniem okresowości!) dostajesz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=r^3 \\ 3\varphi=-\varphi+2k \pi, \ k \in \ZZ \end{cases}}\)

Miłego liczenia.
ODPOWIEDZ