Narysować zbiór

[Doge666]

Proszę o pomoc w narysowaniu takiego zbioru:
\(\displaystyle{ A = \left\{ z \in C: 0 < arg( \frac{2-i}{2+i} ) \le \frac{ \pi }{2} \right\}}\)
Podzieliłem najpierw wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{2-i}{2+i}}\), otrzymując \(\displaystyle{ \frac{3}{5}- \frac{4}{5}i}\), potem rozbiłem \(\displaystyle{ arg}\) na \(\displaystyle{ arg(3-4i) - arg5 + 2k \pi}\).
Następnie obliczyłem, że \(\displaystyle{ arg5 = 0}\) oraz \(\displaystyle{ arg(3-4i) = \frac{307}{180} \pi}\), nie jestem pewien poprawności drugiego wyniku.
Czyli \(\displaystyle{ arg}\) z treści zadania wynosi \(\displaystyle{ \frac{307}{180} \pi \approx 1,7 \pi}\), i co teraz?

[szw1710]

Coś tu jest nie tak. W nierówności w ogóle nie występuje \(\displaystyle{ z}\). Więc jeśli jest prawdziwa, to \(\displaystyle{ A=\CC}\), a jeśli fałszywa, to \(\displaystyle{ A=\varnothing}\).

[Doge666]

Hmm przepisywałem ten przykład z dość rozmazanego zdjęcia, możliwe że w treści jest \(\displaystyle{ arg( \frac{z-i}{z+i} )}\) lub \(\displaystyle{ arg( \frac{2-i}{z+i} )}\)

[szw1710]

Dlatego przekreślam \(\displaystyle{ z}\) w trybie matematycznym, tak, że przypomina staromodne ż. Chodzi oczywiście o zapisy na kartce czy na tablicy podczas wykładu.

No to do roboty - pokaż, co umiesz zrobić. Potem będzie rozmowa.

Stawiam na \(\displaystyle{ z}\) w liczniku i w mianowniku.

[Doge666]

Chyba za wiele tu nie potrafię, próbowałem pomnożyć ten iloraz przez sprzężenie, ale otrzymuję ułamek \(\displaystyle{ \frac{z ^{2}-2zi -1 }{z ^{2}+1 }}\).
Myślę, że najpierw trzeba to rozbić do postaci \(\displaystyle{ arg(z-i) - arg(z+i) + 2k \pi}\), tylko nie wiem co dalej. Jeśli miałbym samo \(\displaystyle{ arg(z-i)}\), to zaznaczyłbym na płaszczyźnie zespolonej punkt (0,1) i narysowałbym obszar pasujący do warunków zadania (chyba że tutaj też źle myślę?)

[szw1710]

Tu nie masz sprzężenia. Przecież samo \(\displaystyle{ z}\) jest zespolone. Może oznacz \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i teraz pomnóż przez sprzężenie. Tak sobie głośno myślę, bo nie zamierzam tego przeliczać, ale nieco Cię nakierować.

[Doge666]

W takim razie mnożę \(\displaystyle{ \frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)} \cdot \frac{x-i(y+1)}{x-i(y+1)}}\) i otrzymuję \(\displaystyle{ \frac{x ^{2}+y ^{2}-2xi -1 }{x ^{2}+y ^{2}+2y +1}}\). Mogę tu jeszcze wyodrębnić część rzeczywistą i wyimaginowaną, ale w dalszym ciągu nie wiem po co mi to.

[szw1710]

Spróbuj pomocniczo scharakteryzować liczby \(\displaystyle{ z=a+bi}\) takie, że \(\displaystyle{ 0<arg z\le\frac{\pi}{2}}\). Potem dostaniesz jakiś warunek na \(\displaystyle{ x,y}\).

[Doge666]

Czyli są to takie liczby, dla których \(\displaystyle{ a \ge 0}\) i \(\displaystyle{ b > 0}\)

[szw1710]

Zastanów się nad nierównościami (ostra, słaba).

[Doge666]

Nie rozumiem, skoro liczby "z" muszą należeć do przedziału \(\displaystyle{ (0, \frac{ \pi }{2}>}\), to część rzeczywista "a" musi być większa bądź równa zero, a część wyimaginowana "b" musi być większa od zera, żeby argument nigdy nie wyniósł zero.
\(\displaystyle{ a \ge 0}\) oznacza że możemy zaznaczyć punkt w dowolnym miejscu na prawo od osi Im (włącznie z tą osią), \(\displaystyle{ b>0}\) oznacza, że punkty te muszą dodatkowo znajdować się ponad osią Re, nie mogą do niej należeć.