Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lut 2017, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brassel
- Podziękował: 7 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać zz^4=-32
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać \(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=-32}\). Wynik podać w postaci algebraicznej.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lut 2017, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brassel
- Podziękował: 7 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać zz^4=-32
Nie mam pojęcia co zrobić z tym sprzężeniem w tym równaniu :/-- 8 lut 2017, o 11:02 --Można poprosić o jakąś podpowiedz do rozwiązania tego zadania?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
wskazówka:
\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)
a jeśli tak to
\(\displaystyle{ \overline{z}=re^{-i\phi}}\)
\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)
a jeśli tak to
\(\displaystyle{ \overline{z}=re^{-i\phi}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lut 2017, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brassel
- Podziękował: 7 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
Według tego wzoru, jeśli dobrze zrozumiałem to moje równanie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi}r^{4}e^{4i\phi}}\)
gdzie równanie trygonometryczne wygląda:
\(\displaystyle{ -32=32(\cos\pi+i\sin\pi)}\)
czyli jak podstawimy to co przedtem mieliśmy mamy:
\(\displaystyle{ 32e^{-i\pi}32^{4}e^{4i\pi}=-33554432}\)
i ja mam wrażenie, że coś poszło nie tak, bo taki wynik jest mało prawdopodobny, iż jest poprawny, więc co zrobiłem nie tak czy jak to zrobić jakoś inaczej?
\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi}r^{4}e^{4i\phi}}\)
gdzie równanie trygonometryczne wygląda:
\(\displaystyle{ -32=32(\cos\pi+i\sin\pi)}\)
czyli jak podstawimy to co przedtem mieliśmy mamy:
\(\displaystyle{ 32e^{-i\pi}32^{4}e^{4i\pi}=-33554432}\)
i ja mam wrażenie, że coś poszło nie tak, bo taki wynik jest mało prawdopodobny, iż jest poprawny, więc co zrobiłem nie tak czy jak to zrobić jakoś inaczej?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
Nie wiem co zrobiłeś ale nie o to chodzi i jest źle.
Proponowane podstawienie korzysta z postaci wykładniczej liczby zespolonej jest to równoważne postaci trygonometrycznej bo
\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
Źle to podstawiasz nie wiadomo za co.
Po prostu skoro
\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)
to
\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi} \cdot r^4e^{4i\phi}=r^5e^{3i\phi}}\)
zapiszemy teraz że
\(\displaystyle{ r^5e^{3i\phi+2k \pi i}=-32}\)
dodanie \(\displaystyle{ 2k \pi i}\) to tak jak by mnożyć przez \(\displaystyle{ 1}\) zrobiłem to by uwzględnić wszystkie rozwiązania.
Porównując moduły i kąt mamy że
\(\displaystyle{ r^5=32}\)
czyli
\(\displaystyle{ r=2}\)
a kąt
\(\displaystyle{ 3i\phi+2k \pi i= \pi i}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi}\)
gdzie \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)
więc wynik to
\(\displaystyle{ z=2 \cdot e^{\left( \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi\right)i }}\)
co ostatecznie można zamienić na
\(\displaystyle{ z_1=2e^{ \frac{ \pi }{3}i }=1+ i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z_2=2e^{ \pi i}=-2}\)
\(\displaystyle{ z_3=2e^{ \frac{5 \pi }{3}i }=1-i \sqrt{3}}\)
podstaw to liczby do równania i sprawdź czy są poprane.
Proponowane podstawienie korzysta z postaci wykładniczej liczby zespolonej jest to równoważne postaci trygonometrycznej bo
\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
Źle to podstawiasz nie wiadomo za co.
Po prostu skoro
\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)
to
\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi} \cdot r^4e^{4i\phi}=r^5e^{3i\phi}}\)
zapiszemy teraz że
\(\displaystyle{ r^5e^{3i\phi+2k \pi i}=-32}\)
dodanie \(\displaystyle{ 2k \pi i}\) to tak jak by mnożyć przez \(\displaystyle{ 1}\) zrobiłem to by uwzględnić wszystkie rozwiązania.
Porównując moduły i kąt mamy że
\(\displaystyle{ r^5=32}\)
czyli
\(\displaystyle{ r=2}\)
a kąt
\(\displaystyle{ 3i\phi+2k \pi i= \pi i}\)
\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi}\)
gdzie \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)
więc wynik to
\(\displaystyle{ z=2 \cdot e^{\left( \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi\right)i }}\)
co ostatecznie można zamienić na
\(\displaystyle{ z_1=2e^{ \frac{ \pi }{3}i }=1+ i\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ z_2=2e^{ \pi i}=-2}\)
\(\displaystyle{ z_3=2e^{ \frac{5 \pi }{3}i }=1-i \sqrt{3}}\)
podstaw to liczby do równania i sprawdź czy są poprane.
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lut 2017, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brassel
- Podziękował: 7 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
Dzięki wielkie, wyniki są jak najbardziej dobre.
Ale mam prośbę czy byś mógł mi wytłumaczyć jak policzyć bez pomocy wolframa alpha np. \(\displaystyle{ 2e^{\pi i}}\)
Ale mam prośbę czy byś mógł mi wytłumaczyć jak policzyć bez pomocy wolframa alpha np. \(\displaystyle{ 2e^{\pi i}}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4071
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
Napisałem to w pierwszej linijce.
\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
więc
\(\displaystyle{ 2e^{ \pi i}=2(\cos \pi +i\sin \pi )=2(-1+0)=-2}\)
\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
więc
\(\displaystyle{ 2e^{ \pi i}=2(\cos \pi +i\sin \pi )=2(-1+0)=-2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 6 lut 2017, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brassel
- Podziękował: 7 razy
Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie
Ok, rozumiem. Dzięki jeszcze raz za pomoc