Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie

[HerrKuless]

Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać \(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=-32}\). Wynik podać w postaci algebraicznej.

[Kaf]

Jakieś próby?

[HerrKuless]

Nie mam pojęcia co zrobić z tym sprzężeniem w tym równaniu :/-- 8 lut 2017, o 11:02 --Można poprosić o jakąś podpowiedz do rozwiązania tego zadania?

[Janusz Tracz]

wskazówka:

\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)

a jeśli tak to

\(\displaystyle{ \overline{z}=re^{-i\phi}}\)

[HerrKuless]

Według tego wzoru, jeśli dobrze zrozumiałem to moje równanie powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi}r^{4}e^{4i\phi}}\)
gdzie równanie trygonometryczne wygląda:
\(\displaystyle{ -32=32(\cos\pi+i\sin\pi)}\)
czyli jak podstawimy to co przedtem mieliśmy mamy:
\(\displaystyle{ 32e^{-i\pi}32^{4}e^{4i\pi}=-33554432}\)
i ja mam wrażenie, że coś poszło nie tak, bo taki wynik jest mało prawdopodobny, iż jest poprawny, więc co zrobiłem nie tak czy jak to zrobić jakoś inaczej?

[Janusz Tracz]

Nie wiem co zrobiłeś ale nie o to chodzi i jest źle.

Proponowane podstawienie korzysta z postaci wykładniczej liczby zespolonej jest to równoważne postaci trygonometrycznej bo

\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)

Źle to podstawiasz nie wiadomo za co.
Po prostu skoro

\(\displaystyle{ z=re^{i\phi}}\)

to

\(\displaystyle{ \overline{z}z^{4}=re^{-i\phi} \cdot r^4e^{4i\phi}=r^5e^{3i\phi}}\)

zapiszemy teraz że

\(\displaystyle{ r^5e^{3i\phi+2k \pi i}=-32}\)

dodanie \(\displaystyle{ 2k \pi i}\) to tak jak by mnożyć przez \(\displaystyle{ 1}\) zrobiłem to by uwzględnić wszystkie rozwiązania.
Porównując moduły i kąt mamy że

\(\displaystyle{ r^5=32}\)

czyli

\(\displaystyle{ r=2}\)

a kąt

\(\displaystyle{ 3i\phi+2k \pi i= \pi i}\)

\(\displaystyle{ \phi= \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi}\)

gdzie \(\displaystyle{ k\in\left\{ 0,1,2\right\}}\)

więc wynik to

\(\displaystyle{ z=2 \cdot e^{\left( \frac{ \pi }{3}+ \frac{2}{3}k \pi\right)i }}\)

co ostatecznie można zamienić na

\(\displaystyle{ z_1=2e^{ \frac{ \pi }{3}i }=1+ i\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ z_2=2e^{ \pi i}=-2}\)

\(\displaystyle{ z_3=2e^{ \frac{5 \pi }{3}i }=1-i \sqrt{3}}\)

podstaw to liczby do równania i sprawdź czy są poprane.

[HerrKuless]

Dzięki wielkie, wyniki są jak najbardziej dobre.
Ale mam prośbę czy byś mógł mi wytłumaczyć jak policzyć bez pomocy wolframa alpha np. \(\displaystyle{ 2e^{\pi i}}\)

[Janusz Tracz]

Napisałem to w pierwszej linijce.

\(\displaystyle{ re^{i\phi}=r(\cos\phi+i\sin\phi)}\)

więc

\(\displaystyle{ 2e^{ \pi i}=2(\cos \pi +i\sin \pi )=2(-1+0)=-2}\)

[HerrKuless]

Ok, rozumiem. Dzięki jeszcze raz za pomoc