Część urojona z ułamka

[szerszen]

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiór liczb spełniających podany warunek
\(\displaystyle{ \Im \frac{1+iz}{1-iz}=1}\)

Mam problem jak wyznaczyć część urojoną z ułamka, próbowałem mnożyć przez sprzężenie mianownika dwukrotnie, ale nie uzyskałem poprawnego wyniku.

[Premislav]

Zapisz \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i wtedy pomnóż przez sprzężenie.
Otrzymasz:
\(\displaystyle{ \frac{1+iz}{1-iz}= \frac{1+ix-y}{1-ix+y}= \frac{(1+ix-y)(1+ix+y)}{(1+y)^2+x^2}=\\= \frac{(1+ix)^2-y^2}{(1+y)^2+x^2}= \frac{1+2ix-x^2-y^2}{(1+y)^2+x^2}}\)
czyli masz znaleźć takie \(\displaystyle{ z=x+iy}\), że
\(\displaystyle{ \frac{2x}{(1+y)^2+x^2}=1}\)
Dziedzina, potem mnożysz stronami przez mianownik i wychodzi Ci taki tam okrąg na płaszczyźnie zespolonej.

[a4karo]

Chyba łatwiej napisać \(\displaystyle{ \frac{1+iz} {1-iz} =x+i}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ z}\).

[szerszen]

Chyba łatwiej napisać \(\displaystyle{ \frac{1+iz} {1-iz} =x+i}\) i wyliczyć \(\displaystyle{ z}\).

A skąd się wzięło to co po prawej stronie znaku równości?

[a4karo]

To są wszystkie liczby, których częścią urojoną jest jedynka.(oczywiście dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\))