Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu.
\(\displaystyle{ z^{3}-3z^{2}+3z-1+8i}\)
Rozwiązanie z książki:
\(\displaystyle{ z^{3}-3z^{2}+3z-1+8i = \left( z-1\right)^{3}+8i}\)
Zbiór pierwiastków tego wielomianu pokrywa się ze zbiorem \(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{-8i}}\). Korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczb zespolonych otrzymamy:
\(\displaystyle{ z_{1}=1+2i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=1-\left( \sqrt{3}+i \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=1+\left( \sqrt{3}-i \right)}\)
Mam pytanie, w jaki sposób zostały wyznaczone te pierwiastki. Ja znam wzór na obliczanie pierwiastków liczb zespolonych, ale tam potrzeba obliczenia modułu liczby zespolonej. A tym przypadku nie wiem jak wyznaczyć moduł liczby zespolonej.
Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu
\(\displaystyle{ -8i=0-i8= \sqrt{0^2+(-8)^2}\left( \cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}\right) =8\left( \cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}\right)}\)