Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Artut97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 18 paź 2015, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 265 razy
Pomógł: 1 raz

Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu

Post autor: Artut97 »

Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu.

\(\displaystyle{ z^{3}-3z^{2}+3z-1+8i}\)

Rozwiązanie z książki:

\(\displaystyle{ z^{3}-3z^{2}+3z-1+8i = \left( z-1\right)^{3}+8i}\)

Zbiór pierwiastków tego wielomianu pokrywa się ze zbiorem \(\displaystyle{ 1+ \sqrt[3]{-8i}}\). Korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczb zespolonych otrzymamy:

\(\displaystyle{ z_{1}=1+2i}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=1-\left( \sqrt{3}+i \right)}\)
\(\displaystyle{ z_{3}=1+\left( \sqrt{3}-i \right)}\)

Mam pytanie, w jaki sposób zostały wyznaczone te pierwiastki. Ja znam wzór na obliczanie pierwiastków liczb zespolonych, ale tam potrzeba obliczenia modułu liczby zespolonej. A tym przypadku nie wiem jak wyznaczyć moduł liczby zespolonej.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wielomiany zespolone przedstawić w postaci iloczynu dwumianu

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ -8i=0-i8= \sqrt{0^2+(-8)^2}\left( \cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}\right) =8\left( \cos \frac{3 \pi }{2} +i \sin \frac{3 \pi }{2}\right)}\)
ODPOWIEDZ