Matematyka.pl

Od dłuższego czasu głowię się nad pewnym przykładem związanym z liczbami zespolonymi a mianowicie potrzeba znaleźć punkty na płaszczyźnie zespolonej spełniające warunek:
\(\displaystyle{ arg(- \overline{z}) \ge \frac{\pi}{2}}\)

Z góry dziękuję za każdą pomoc

Wskazówki:

1. Jeśli \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), to \(\displaystyle{ \bar{z}=re^{-i\varphi}}\).
2. Liczba zespolona \(\displaystyle{ -w}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ w}\). Jak to się przekłada na argument?

Wielkie dzięki! Nie wpadłbym na to że liczba \(\displaystyle{ -z}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ z}\). W rezultacie otrzymałem taki zbiór punktów (o ile dobrze zaznaczyłem należące do tego zbioru osie):
[/url]

OK. Zauważ, że złożenie tych przekształceń to symetria względem osi \(\displaystyle{ y}\). Tak więc argumenty \(\displaystyle{ \ge\frac{\pi}{2}}\) są poza I ćwiartką, a obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ y}\) jest taki jak narysowałeś.

Korzystałem tu z pewnej własności symetrii: jest sama do siebie odwrotna.