Od dłuższego czasu głowię się nad pewnym przykładem związanym z liczbami zespolonymi a mianowicie potrzeba znaleźć punkty na płaszczyźnie zespolonej spełniające warunek:
\(\displaystyle{ arg(- \overline{z}) \ge \frac{\pi}{2}}\)
Z góry dziękuję za każdą pomoc
Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej
Wskazówki:
1. Jeśli \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), to \(\displaystyle{ \bar{z}=re^{-i\varphi}}\).
2. Liczba zespolona \(\displaystyle{ -w}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ w}\). Jak to się przekłada na argument?
1. Jeśli \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), to \(\displaystyle{ \bar{z}=re^{-i\varphi}}\).
2. Liczba zespolona \(\displaystyle{ -w}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ w}\). Jak to się przekłada na argument?
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej
Wielkie dzięki! Nie wpadłbym na to że liczba \(\displaystyle{ -z}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ z}\). W rezultacie otrzymałem taki zbiór punktów (o ile dobrze zaznaczyłem należące do tego zbioru osie):
[/url]
[/url]
Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej
OK. Zauważ, że złożenie tych przekształceń to symetria względem osi \(\displaystyle{ y}\). Tak więc argumenty \(\displaystyle{ \ge\frac{\pi}{2}}\) są poza I ćwiartką, a obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ y}\) jest taki jak narysowałeś.
Korzystałem tu z pewnej własności symetrii: jest sama do siebie odwrotna.
Korzystałem tu z pewnej własności symetrii: jest sama do siebie odwrotna.