Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: piksi111-97 » 2 lut 2017, o 20:45

Od dłuższego czasu głowię się nad pewnym przykładem związanym z liczbami zespolonymi a mianowicie potrzeba znaleźć punkty na płaszczyźnie zespolonej spełniające warunek:
\(\displaystyle{ arg(- \overline{z}) \ge \frac{\pi}{2}}\)

Z góry dziękuję za każdą pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18719
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3715 razy

Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: szw1710 » 2 lut 2017, o 23:02

Wskazówki:

1. Jeśli \(\displaystyle{ z=re^{i\varphi}}\), to \(\displaystyle{ \bar{z}=re^{-i\varphi}}\).
2. Liczba zespolona \(\displaystyle{ -w}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ w}\). Jak to się przekłada na argument?

piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: piksi111-97 » 3 lut 2017, o 07:48

Wielkie dzięki! Nie wpadłbym na to że liczba \(\displaystyle{ -z}\) jest symetryczna względem zera do \(\displaystyle{ z}\). W rezultacie otrzymałem taki zbiór punktów (o ile dobrze zaznaczyłem należące do tego zbioru osie):

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18719
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3715 razy

Zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: szw1710 » 3 lut 2017, o 08:27

OK. Zauważ, że złożenie tych przekształceń to symetria względem osi \(\displaystyle{ y}\). Tak więc argumenty \(\displaystyle{ \ge\frac{\pi}{2}}\) są poza I ćwiartką, a obszar symetryczny względem osi \(\displaystyle{ y}\) jest taki jak narysowałeś.

Korzystałem tu z pewnej własności symetrii: jest sama do siebie odwrotna.

ODPOWIEDZ