Równanie zespolone i moduł

[PatrykTraveler]

Niestety, ale mam kolejny problem, nie mogę coś złapać schematu.

\(\displaystyle{ z^{4} = (1+\sqrt{3}i})|z|^{2}}\)

[Premislav]

Proponuję postać trygonometryczną.

Obkładając to równanie modułem, dostajesz
\(\displaystyle{ |z|^4=2|z|^2}\), czyli \(\displaystyle{ |z|=0 \vee |z|=\sqrt{2}}\)

Ponadto z przyrównania argumentów kątowych otrzymujesz:
\(\displaystyle{ 4 \arg z=Arg \left( 1+\sqrt{3}i\right)+2k\pi, k \in \ZZ}\)
czyli
\(\displaystyle{ \arg z = \frac{\pi}{12}+ \frac{k}{2}\pi}\), wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)

Czyli rozwiązania to zero oraz
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\left( \cos\left(\frac \pi{12}+\frac k2 \pi \right) +i\sin\left( \frac \pi {12}+\frac k 2 \pi\right) \right)}\), \(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)

A tych funkcji trygonometrycznych to ja chyba nie umiem wyliczyć, ewentualnie zrobić z tego
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac \pi 3-\frac \pi 4\right)}\) i ze wzorów na cosinus różnicy, sinus różnicy itd.

[PatrykTraveler]

Nie rozumiem za bardzo fragmentu z przyrównaniem miar kątowych.

[Premislav]

Czego konkretnie nie rozumiesz?
Jeżeli \(\displaystyle{ \cos \alpha=\cos \beta}\) i zarazem \(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin \beta}\), to istnieje takie \(\displaystyle{ k}\)całkowite, że
\(\displaystyle{ \alpha=\beta+2k\pi}\) - chyba tyle wystarczy wiedzieć.
\(\displaystyle{ 4 \arg z}\) to też jest jakiś kąt, tylko pomnożony, no tutaj skorzystałem ze wzoru de Moivre'a - może powinienem był o tym wspomnieć. Dlatego argument kątowy \(\displaystyle{ z^4}\) to czterokrotność argumentu kątowego \(\displaystyle{ z}\).
No a argument główny liczby \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=2\left( \cos \frac \pi 3+i\sin \frac \pi 3\right)}\) to jest \(\displaystyle{ \frac \pi 3}\). Potem podzieliłem stronami przez cztery.

[PatrykTraveler]

Chyba już rozumiem, ale co z pozostałym modułem z, po prawej stronie?

[Premislav]

Jakim pozostałym modułem \(\displaystyle{ z}\) Napisałem Ci na samym początku, jak znaleźć możliwe wartości modułu. Dwie liczby zespolone są równe, gdy mają takie same moduły, a ich argumenty kątowe różnią się o krotność \(\displaystyle{ 2\pi}\).