Płaszczyzna zespolona

[paleon]

Witam, mam problem z narysowaniem następującej płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \left| \frac{z+i}{z^2 +1} \right| \le 1}\)

Próbowałem zrobić to jak inne przykłady - rozbić na postać kanoniczną, policzyć moduły i doprowadzić do jakiejś figury (zwykle koła). W tym przypadku zostają jednak czwarte potęgi. Próbowałem też użyć postaci trygonometrycznej, ale nic tym nie otrzymałem.

[bartek118]

Sugeruję zauważyć, że dla \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C} \setminus \{ \pm i \}}\)
\(\displaystyle{ |z+i| \leq |z^2 + 1| = |z-i| \cdot |z+i|}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 1 \leq |z-i|}\)

[paleon]

Mam jeszcze jeden problem:

\(\displaystyle{ \left| z+i\right| + \left| z - i \right| = 2}\)

wyszło mi, że \(\displaystyle{ y = xi \vee y = -xi}\), a w odpowiedziach mam jako odcinek leżący na \(\displaystyle{ OY}\) pomiędzy \(\displaystyle{ i}\) a \(\displaystyle{ -i}\)

[bartek118]

Zgadza się. Interpretacja geometryczna jest taka: suma odległości od punktu \(\displaystyle{ z}\) do punktów \(\displaystyle{ \pm i}\) ma być \(\displaystyle{ 2}\). Ale odległość między \(\displaystyle{ i}\) a \(\displaystyle{ -i}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\). Zatem warunek ten spełniają tylko \(\displaystyle{ z}\) łączące \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\). Z nierówności trójkąta wynika, że inne punkty nie mogą spełniać tej równości.