Miejsca zerowe wielomianu.

[Ktoscoscos]

Znaleźć liczbę (liczonych z krotnościami) miejsc zerowych wielomianu \(\displaystyle{ p(z)=z^4+z^2-z+5}\), w kole o środku w zerze i promieniu 1.

Nie proszę o rozwiązanie, ale o pokazaniu w kilku krokach, jak zadania tego typu powinno się rozwiązywać.

[Premislav]

To zadanie wygląda mi na zastosowanie twierdzenia Rouchego, ale ja go już nie pamiętam. Zgooglowałem:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Rouch%C3%A9%27s_theorem

Tutaj spróbowałbym wykazać nierówność \(\displaystyle{ |z^4|\le |z^2-z+5|}\) - nierówność trójkąta,
\(\displaystyle{ |z^k| \le |z|}\) dla \(\displaystyle{ |z|\le 1}\) i do boju...

[Dasio11]

A nie widać od razu, że pierwiastków nie ma? Można oszacować

\(\displaystyle{ |z^4 + z^2 - z| \le 3}\)

gdy \(\displaystyle{ |z| \le 1,}\) więc \(\displaystyle{ |p(z)| \ge 2.}\)

[Premislav]

Ale moje rozwiązanie wykorzystuje ciekawe twierdzenie, więc jest dużo fajniejsze!

No dobra, żartowałem. Rzuciłbym studia, ale szkoda mi tych lat.

[Ktoscoscos]

A gdybym miał: \(\displaystyle{ p(z)=z^4+9z^2-z+5}\), w kole o środku w zerze i promieniu 1.
Wtedy miałoby to dwa zera (liczone z krotnościami)?

Z tw. Rouchego:
mamy obszar ograniczony
\(\displaystyle{ f(z)=9z^2}\)
\(\displaystyle{ g(z)=z^4-z+5}\)
Obie funkcje są holomorficzne na kole jednostkowym i \(\displaystyle{ \left| g\right|<\left| f\right|}\), wiec \(\displaystyle{ f+g}\) ma tyle samo zer (liczonych z krotnościami) co \(\displaystyle{ f}\).

[Premislav]

\(\displaystyle{ \left| g\right|<\left| f\right|}\)

To jest nieprawdą. Rozważ np. \(\displaystyle{ z=0}\).