Rozwiąż w liczbach zespolonych

[Duba91]

Witam.

Zachciało mi się drugich studiów i okazało się że wszystko wchodzi do głowy poza jedną rzeczą. Libczy zespolone. Mam zadanie którego nie potrafię rozwiązać i prosiłbym o pomoc

Rozwiąż w liczbach zespolonych poniższe równania (mam ich więcej ale jedno mi wystarczy żeby się nauczyć):

\(\displaystyle{ z^{2}-3z+(3+i)=0}\)

[a4karo]

Rozwiązuje sie tak samo jak w szkole, tyle, że trzeba umieć wyciągnąć pierwiastek z liczby zespolonej.

\(\displaystyle{ \sqrt{a+bi}=x+iy, \ a,b,x,y\in\RR}\)
stąd
\(\displaystyle{ a+bi=(x+iy)^2}\).

Dalej sam.

[Duba91]

Szczerze mówiąc, dalej lipa nie wychodzi mi to co w odpowiedziach

[a4karo]

Pokaż rachunki. Jasnowidze są na innym forum

[PoweredDragon]

\(\displaystyle{ z^{2}-3z+(3+i)=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = b^2 - 4ac = -3-4i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = i \sqrt{3+4i}}\)

\(\displaystyle{ 3+4i = a^2+2abi-b^2}\)

\(\displaystyle{ 2ab = 4}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2 = 3}\)

Liczysz pierwiastek z delty i liczysz pierwiastki równania :V

[Duba91]

\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\)

i z tego ma mi wyjść \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 1-2i}\)

Potem już zadanie leci . Natomiast nie wiem dwóch rzeczy.

Dlaczego za \(\displaystyle{ z^{2}}\) podstawione jest 1, nigdzie nie mogę tego znaleźć

i czemu \(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\) wychodzi \(\displaystyle{ 1 - 2i}\) (to chyba braki z technikum)

[PoweredDragon]

Gdzie za \(\displaystyle{ z^2}\) podstawione jest 1?

Pierwiastek wychodzi z tego, co Ci powiedziałem(jak rozwiążesz układ dwóch równań podanych na końcu, to nie powinno być problemów).
Zarzucam rozwiązanie krok po kroku dojścia do delty, ale zanim tam zajrzysz spróbuj samemu do tego dojść

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ 2ab = 4}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2 = 3}\)

\(\displaystyle{ b = \frac{2}{a}}\)
\(\displaystyle{ a^2-\frac{4}{a^2} = 3}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^4-4}{a^2} = 3}\)
\(\displaystyle{ a^4-4 = 3a^2}\)
\(\displaystyle{ a^4-3a^2-4 = 0}\)
a^2 = t

t^2-3t-4 = 0

\(\displaystyle{ \Delta = 3^2 +16 = 25}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 5}\)
\(\displaystyle{ \t_s = \t_1 = \frac{8}{2} = 4, bo t_2 = \frac{-2}{2} = -1 < 0}\), gdzie \(\displaystyle{ t_s}\) - szukane rozwiązanie. Z tego wynika, że mamy:
\(\displaystyle{ a = \pm 2}\) wedge \(\displaystyle{ b = \pm 1}\), więc masz dwa pierwiastki:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = i(2-i) = 1+2i \vee \sqrt{\Delta} = i(-2+i)=-(1+2i)}\)