pierwistek liczby zespolonej

[lojo]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu bo z moich obliczeń wychodzi kosmos

Dla liczby zespolonej z=4-5i wyznaczyć \(\displaystyle{ \sqrt{z}}\)

\(\displaystyle{ x+yi= \sqrt{4-5i}}\) \(\displaystyle{ /( )^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x+yi)^{2}=4-5i}\)
\(\displaystyle{ x^2+2xyi-y^2=4-5i}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2xy=-5 \\ x^2-y^2=4 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2xy=-5 /:2y}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{5}{2y}}\)
\(\displaystyle{ x^2-y^2=4}\)
\(\displaystyle{ (- \frac{5}{2y})^2-y^2=4}\)
\(\displaystyle{ (\frac{25}{4y^2})-y^2=4 /*4y^2}\)
\(\displaystyle{ 25-4y^4=16y^2}\)
\(\displaystyle{ -4y^4-16y^2+25=0}\)
\(\displaystyle{ y^2=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=656}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=4 \sqrt{41}}\)

\(\displaystyle{ t _{1} =- \frac{4+ \sqrt{41} }{2} \le 0}\)
\(\displaystyle{ t _{2} =- \frac{4- \sqrt{41} }{2} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ y^2=t}\)
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}}}\) lub \(\displaystyle{ y=- \sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{5}{2y}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{5}{2\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}}}}\) lub\(\displaystyle{ x= \frac{5}{2\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}}}}\)

czyli rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ \sqrt{4-5i}=- \frac{5}{2\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}}}+(\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}})i,
\frac{5}{2\sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}}}-( \sqrt{\frac{\sqrt{41}+4 }{2}})i}\)

Proszę o poprawienie błędów lub nakierowanie z innym tokiem myślenia

[kalwi]

\(\displaystyle{ z=\sqrt{41}e^{j\arctan{\left( -\frac{5}{4}\right) }}}\)

\(\displaystyle{ z_1=41^{\frac{1}{4}}\left( \cos\left( \frac{\arctan{\left( -\frac{5}{4}\right) }}{2}\right)+j\sin\left( \frac{\arctan{\left( -\frac{5}{4}\right) }}{2}\right) \right)}\)
\(\displaystyle{ z_2=41^{\frac{1}{4}}\left( \cos\left( \frac{\arctan{\left( -\frac{5}{4}\right) }+2\pi}{2}\right)+j\sin\left( \frac{\arctan{\left( -\frac{5}{4}\right) }+2\pi}{2}\right) \right)}\)

[lojo]

a skąd to się zwieło?

[kalwi]

167332.htm#p623839

[lojo]

ale jak wyznaczyłeś fi? że to bedzie arctg

[kalwi]

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej