Postać algebraiczna liczby zespolonej.

[szuchasek]

Znaleźć postać algebraiczną liczby \(\displaystyle{ \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{1+i} \right)^{12}}\)

\(\displaystyle{ z _{1} = 1-i \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ \left| z _{1} \right|=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{1}{2} \\ \sin \varphi = \frac{- \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ z _{2}=1+i}\)

\(\displaystyle{ \left| z _{2} \right|= \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin \varphi = \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{cases}}\)

Niech

\(\displaystyle{ m=|z^k|(\cos{xk}+i\sin{xk})}\)

\(\displaystyle{ n=|w^l|(\cos{yl}+i\sin{yl})}\)

\(\displaystyle{ \frac{m}{n}=|\frac{z^k}{w^l}|(\cos{(kx-ly)}+i\sin{(kx-ly)})}\)



\(\displaystyle{ \frac{z _{1} }{z _{2} } = \frac{2}{ \sqrt{2} } \left( \cos \left( \frac{5}{3} \pi - \frac{ \pi }{4} \right) + i\sin \left( \frac{5}{3} \pi - \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)

I teraz co dalej? Jak to potęgować? Teraz to już się pogubiłem..

[miodzio1988]

Zgodnie ze wzorem de Moivre'a

[szuchasek]

Dzieki, \(\displaystyle{ -64}\).