Znaleźć pierwiastki równania kwadratowego

Lukashardwares · Post autor: **Lukashardwares** » 30 gru 2016, o 18:00

\(\displaystyle{ z^2 - (2-i)z - 1 - 7i = 0}\)

witam!
Proszę was o pomoc jak rozwiązać takie zadanie (polecenie do niego w temacie). Nie potrafię wyciągnąć z wyniku pierwiastka z delty liczby urojonej z pod pierwiastka, czy jest na to jakiś wzór?
Czy do wyniku trzeba dojść z postaci algebraicznej czy da się z zespolonej. Proszę pomóżcie.

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 30 gru 2016, o 18:03

Jak normalne równanie kwadratowe, delta itd.

Lukashardwares · Post autor: **Lukashardwares** » 30 gru 2016, o 20:14

pomoże ktoś wyciągnąć z wyniku pierwiastka z delty liczbę urojoną z pod pierwiastka?

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{7 +24i}}\)

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 30 gru 2016, o 20:21

\(\displaystyle{ 7+24i = (a+bi)^2}\)

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 30 gru 2016, o 20:51

Jak to rozpiszesz to dostaniesz:

\(\displaystyle{ a^2 - b^2 = 7}\)
\(\displaystyle{ 2ab = 24}\)

Jak z drugiego wyznaczysz jedną ze zmiennych i podstawisz do pierwszego, to dostaniesz równanie dwukwadratowe, trzeba będzie wprowadzić pomocniczą zmienną \(\displaystyle{ t = a^2}\) (lub \(\displaystyle{ b^2}\)). Jeśli nie lubisz rozwiązywać równań kwadratowych, to możesz skorzystać z faktu, że jeśli liczby zespolone są równe, to mają równe moduły i obłożyć to równanie, które zapisał mortan, modułem. Wtedy:

\(\displaystyle{ |7+24i| = |(a + bi)^2| = |a + bi|^2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{7^2 + 24^2}= 25 = a^2 + b^2}\)

Teraz możesz dodać to równanie do pierwszego i w ten sposób wyeliminować od razu jedną zmienną bez konieczności rozwiązywania równań (dwu)kwadratowych. No ale to tylko taki fajny trick, który działa gdy pracujemy na chrześcijańskich liczbach (tutaj pomocna była obserwacja, że \(\displaystyle{ 7,24,25}\) to trójka pitagorejska).

Lukashardwares · Post autor: **Lukashardwares** » 30 gru 2016, o 21:53

OK, Bardzo dziękuję, bardzo mi pomogłeś.
powiem wam coś , robiłem kurs o nazwie eTrapez, można go bardzo łatwo w necie znaleźć, tam pokazano mi że do każdego równania typu \(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ 2xy=5 \end{cases}}\)
można dodać trzeci wiersz \(\displaystyle{ x^2+y^2= \sqrt{a^2 +b^2}}\) który bardzo ułatwia rozwiązywanie.

tylko jeszcze dla pewności zapytam was:
czy pierwiastek z delty to jest liczba zespolona "z" która występuje w równaniu, myślę że liczba "z" to jest liczba z1 i z2 , czy mam racje czy jednak to jest pierwiastek z delty?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 30 gru 2016, o 22:12

Lukashardwares pisze: powiem wam coś , robiłem kurs o nazwie eTrapez...

Współczuję

Liczby będące rozwiązaniem tego równania to kolejno \(\displaystyle{ z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}}\) nie jest liczbą, a dwuelementowym zbiorem liczbowym (zawiera liczby sprzężone do siebie). Okazuje się jednak, że dla obu elementów tego zbioru powyższe wzory na pierwiastki mają zastosowanie, bo w jednym przed pierwiastkiem jest minus, w drugim plus.

Lukashardwares · Post autor: **Lukashardwares** » 30 gru 2016, o 22:55

inaczej zapytam:
czy mógłby ktoś napisać dowód że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=(a+bi)}\) ? wtedy bardzo dobrze to zrozumiem.... bardzo proszę, wtedy temat zostanie zamknięty

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 30 gru 2016, o 23:01

Dowód? Jaki dowód? To jest takie pomocnicze podstawienie wyłącznie.

Pierwiastek liczby zespolonej jest liczbą zespoloną.

Lukashardwares · Post autor: **Lukashardwares** » 30 gru 2016, o 23:33

ok, tego chciałem się dowiedzieć dzięki wielkie za pomoc. Temat do zamknięcia.