Przykłady z [być może] użyciem wzorów Moivre'a.

[JustMaths]

Dwa urocza zadanka, niby mam jakieś pomysły, ale nie wiem, co tak naprawdę trzeba z nimi zrobić:

1) Wyznaczyć postać trygonometryczną tego z pierwiastków \(\displaystyle{ z=\sqrt[8]{-128-128\sqrt{3}i}}\), dla których argument główny jest najmniejszy.

Jako r podać moduł otrzymanego pierwiastka, jako a argument główny w stopniach.

2) Obliczyć \(\displaystyle{ \left(\frac{cos62^o+isin62^o}{cos17^o+isin17^o}\right)^2}\)

[M Maciejewski]

Podpowiedź:
1)
\(\displaystyle{ -128-128\sqrt{3}i = -256\cdot\left(\frac 12+\frac{\sqrt 3}2i\right)=
-256\cdot\left(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)\right)}\).

2)
\(\displaystyle{ \frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\beta+i\sin\beta}=\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)}\).

[JustMaths]

M Maciejewski, druga podpowiedź znacznie mi ułatwiła, ale z tym pierwszym dalej w sumie nie wiem, a właściwie nie wiemy, bo w czwórkę siedzimy i próbujemy rozwiązać.

[Premislav]

1) odrobinę dalej sięgająca podpowiedź:
\(\displaystyle{ -128-128\sqrt{3}i =256\left( \cos \left( \frac 4 3 \pi+2k\pi\right) +i\sin \left( \frac 4 3 \pi+2k\pi\right)\right), k \in \ZZ}\)
Dalej wzór de Moivre'a.