Rozwiąż równanie

[adinho58]

\(\displaystyle{ (z-2)^8 = 256}\)

Normalnie robiłem to tak, że liczyłem \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) i poszczególne przypadki, ale jak rozwiązać to zadanie ?

Z góry dziękuje

[Premislav]

Najpierw podstaw \(\displaystyle{ w=\frac{z-2}{2}}\). Otrzymasz:
\(\displaystyle{ 2^8w^8=256=2^8}\), a stąd \(\displaystyle{ w^8=1}\). Wobec tego
mamy osiem rozwiązań: \(\displaystyle{ w=\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}, k=0, \dots 7}\)
Czyli \(\displaystyle{ \frac{z-2}{2}=\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}, k=0, \dots 7}\), a więc
\(\displaystyle{ z=2+2\left(\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}\right), k=0, \dots 7}\)

[adinho58]

\(\displaystyle{ z_k=2+2\left(\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}\right), k=0, \dots 7}\)

Na początku powinno być \(\displaystyle{ z_k}\) tak ?

[Premislav]

No tak. Jedna liczba nie może być równa ośmiu różnym liczbom, zgubiłem indeks.