\(\displaystyle{ (z-2)^8 = 256}\)
Normalnie robiłem to tak, że liczyłem \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) i poszczególne przypadki, ale jak rozwiązać to zadanie ?
Z góry dziękuje
Rozwiąż równanie
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Rozwiąż równanie
Najpierw podstaw \(\displaystyle{ w=\frac{z-2}{2}}\). Otrzymasz:
\(\displaystyle{ 2^8w^8=256=2^8}\), a stąd \(\displaystyle{ w^8=1}\). Wobec tego
mamy osiem rozwiązań: \(\displaystyle{ w=\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}, k=0, \dots 7}\)
Czyli \(\displaystyle{ \frac{z-2}{2}=\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}, k=0, \dots 7}\), a więc
\(\displaystyle{ z=2+2\left(\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}\right), k=0, \dots 7}\)
\(\displaystyle{ 2^8w^8=256=2^8}\), a stąd \(\displaystyle{ w^8=1}\). Wobec tego
mamy osiem rozwiązań: \(\displaystyle{ w=\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}, k=0, \dots 7}\)
Czyli \(\displaystyle{ \frac{z-2}{2}=\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}, k=0, \dots 7}\), a więc
\(\displaystyle{ z=2+2\left(\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}\right), k=0, \dots 7}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 296
- Rejestracja: 11 wrz 2014, o 21:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zgierz
- Podziękował: 104 razy
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ z_k=2+2\left(\cos \frac{2k\pi}{8}+i\sin \frac{2k\pi}{8}\right), k=0, \dots 7}\)
Na początku powinno być \(\displaystyle{ z_k}\) tak ?
Na początku powinno być \(\displaystyle{ z_k}\) tak ?