Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej:

[Damn Daniel]

\(\displaystyle{ \sqrt[5]{32i}}\) ;

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} < arg (z+3i)< \frac{ \pi }{3}}\) ;

\(\displaystyle{ \pi \le arg (iz)<2 \pi}\) ;

\(\displaystyle{ Im ( z^{2} ) \ge Re [( z^{2} \overline{z})]}\);

\(\displaystyle{ \overline{z-i} = z-1}\);

[Premislav]

W pierwszym zamień na postać trygonometryczną i skorzystaj ze wzoru de Moivre'a (uogólnionego).
Bodajże mamy \(\displaystyle{ 32i=32\left(\cos\left(\frac \pi 2+2k\pi \right)+i\sin\left(\frac \pi 2+2k\pi \right) \right)}\)

W drugim zacznij od postaci trygonometrycznej i skorzystaj ze wzorów na sumę sinusów oraz sumę cosinusów, oznaczając przez \(\displaystyle{ \alpha}\) argument kątowy \(\displaystyle{ z.}\)
W trzecim \(\displaystyle{ Arg(z+w)=Arg z Arg w}\)

Czwartego nie umiem inaczej niż przez chamskie rozpisanie. Można tylko zauważyć, że
\(\displaystyle{ \Re(z\cdot w)=\Re z \Re w-\Im z \Im w}\) i zasiadaj do liczenia. Choć może da się ładniej.

W piątym weź \(\displaystyle{ z=x+iy}\) i na literkach to można policzyć. Z przyrównania części rzeczywistych i urojonych obu stron otrzymasz bardzo prosty układ równań.

EDIT: Jak słusznie zwrócił mi uwagę Lider_M, powinno być inaczej:
\(\displaystyle{ Arg(z\cdot w)=Arg z+Arg w}\)

[Damn Daniel]

A równanie \(\displaystyle{ \ \sqrt[3]{-1+i}}\) to tak jak w pierwszym?

[Premislav]

Zgadza się.

[Lider_M]

Premislav, coś ten wzór z argumentami pomieszałeś.

[Premislav]

O rany, miało być
\(\displaystyle{ Arg (z \cdot w)=Arg z+Arg w}\), przepraszam, jestem dyslektykiem (oczywiście to żadne usprawiedliwienie).-- 5 gru 2016, o 12:36 --Zresztą to, co poprzednio napisałem, nawet by nie pasowało do tego zadania, nie wspominając o tym, że nie jest to prawda.