Wielomian czwartego stopnia.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
ynkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lis 2016, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Wielomian czwartego stopnia.

Post autor: ynkk »

\(\displaystyle{ z^{4}-4iz^{3}-6z^{2}+4iz+65=0}\)

Wychodzą bardzo ładne pierwiastki \(\displaystyle{ -2-i, 2-i, -2+3i, 2+3i}\) Czy ktoś mógłby pokazać jak ten wielomian odpowiednio przekształcić.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Wielomian czwartego stopnia.

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ z^{4}-4iz^{3}-6z^{2}+4iz+65=0}\)
\(\displaystyle{ (z-i)^4+64=0\\
(z-i)^4-(8i)^2=0\\
((z-i)^2+8i)((z-i)^2-8i)=0\\
((z-i)^2+4(1+i)^2)((z-i)^2-4(1+i)^2)=0\\
((z-i)^2+(2+2i)^2)((z-i)^2-(2+2i)^2)=0\\
((z-i)^2-i^2(2+2i)^2)((z-i)^2-(2+2i)^2)=0\\
\left[ (z-i)-i(2+2i)\right] \left[ (z-i)+i(2+2i)\right] \left[ (z-i)-(2+2i)\right] \left[ (z-i)+(2+2i)\right]=0}\)


\(\displaystyle{ z^{4}-4iz^{3}-6z^{2}+4iz+65=0}\)
\(\displaystyle{ (z-i)^4+64=0\\
z-i= \sqrt[4]{-64}\\
z-i=2 \sqrt{2} \sqrt[4]{-1}\\
z-i=2 \sqrt{2} \sqrt[4]{\cos ( \pi +k2 \pi )+i\sin ( \pi +k2 \pi )}\\
z-i=2 \sqrt{2}\left[ \cos \left( \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2} \right) +i \sin \left( \frac{ \pi }{4}+ \frac{k \pi }{2} \right)\right] \\
z_1=i+2 \sqrt{2}\left[ \cos \frac{ \pi }{4}+ i\sin \frac{ \pi }{4} \right] \vee z_2=i+2 \sqrt{2}\left[ \cos \frac{3 \pi }{4}+i \sin \frac{3\pi }{4} \right] \vee \\ \vee z_3=i+2 \sqrt{2}\left[ \cos \frac{ 5\pi }{4}+ i\sin \frac{5 \pi }{4} \right] \vee z_4=i+2 \sqrt{2}\left[ \cos \frac{ 7\pi }{4}+ i\sin \frac{ 7\pi }{4} \right]}\)
ODPOWIEDZ