Oszacować z góry wyrażenie
\(\displaystyle{ \left| \frac{z-w}{z+w} \right|}\)
dla \(\displaystyle{ w}\) leżącego na okręgu \(\displaystyle{ \left| w \right|=1}\) płaszczyzny zespolonej, przy pomocy \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą zespoloną nie leżącą na tym okręgu.
Oszacować z góry wyrażenie
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Oszacować z góry wyrażenie
Pewnie to nie jest najlepsze szacowanie, ale na pałę można wycisnąć coś takiego:
z nierówności trójkąta mamy
\(\displaystyle{ |z-w|-|z+w|=|w-z|-|w+z| \le 2|-z|=2|z|}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left| \frac{w-z}{w+z} \right| \le 1+ \frac{2|z|}{|w+z|}}\)
i ponieważ znowu z nierówności trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ |w+z|\ge |w|-|-z|=1-|z|}\)
oraz \(\displaystyle{ |w+z| \ge |z|-|-w|=|z|-1}\), więc ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{w-z}{w+z} \right| \le 1+2\max\left\{ \frac{|z|}{1-|z|}, \frac{|z|}{|z|-1} \right\}}\)
Miałeś coś o homografiach? Bo lepsze rozwiązanie może się kryć w zastosowaniu jakiejś teorii.
z nierówności trójkąta mamy
\(\displaystyle{ |z-w|-|z+w|=|w-z|-|w+z| \le 2|-z|=2|z|}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left| \frac{w-z}{w+z} \right| \le 1+ \frac{2|z|}{|w+z|}}\)
i ponieważ znowu z nierówności trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ |w+z|\ge |w|-|-z|=1-|z|}\)
oraz \(\displaystyle{ |w+z| \ge |z|-|-w|=|z|-1}\), więc ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{w-z}{w+z} \right| \le 1+2\max\left\{ \frac{|z|}{1-|z|}, \frac{|z|}{|z|-1} \right\}}\)
Miałeś coś o homografiach? Bo lepsze rozwiązanie może się kryć w zastosowaniu jakiejś teorii.