Oszacować z góry wyrażenie

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Alecx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 27 paź 2016, o 23:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy

Oszacować z góry wyrażenie

Post autor: Alecx »

Oszacować z góry wyrażenie
\(\displaystyle{ \left| \frac{z-w}{z+w} \right|}\)
dla \(\displaystyle{ w}\) leżącego na okręgu \(\displaystyle{ \left| w \right|=1}\) płaszczyzny zespolonej, przy pomocy \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną liczbą zespoloną nie leżącą na tym okręgu.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Oszacować z góry wyrażenie

Post autor: Premislav »

Pewnie to nie jest najlepsze szacowanie, ale na pałę można wycisnąć coś takiego:
z nierówności trójkąta mamy
\(\displaystyle{ |z-w|-|z+w|=|w-z|-|w+z| \le 2|-z|=2|z|}\)
A zatem:
\(\displaystyle{ \left| \frac{w-z}{w+z} \right| \le 1+ \frac{2|z|}{|w+z|}}\)
i ponieważ znowu z nierówności trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ |w+z|\ge |w|-|-z|=1-|z|}\)
oraz \(\displaystyle{ |w+z| \ge |z|-|-w|=|z|-1}\), więc ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left| \frac{w-z}{w+z} \right| \le 1+2\max\left\{ \frac{|z|}{1-|z|}, \frac{|z|}{|z|-1} \right\}}\)

Miałeś coś o homografiach? Bo lepsze rozwiązanie może się kryć w zastosowaniu jakiejś teorii.
ODPOWIEDZ