Kilka przykładów z zespolonych

[qqaazzxx]

Witam otóż mam problem z kilkoma zadaniami
\(\displaystyle{ z^{5}=(\overline{z})^{5}*i}\) narysować na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ (\overline{z})^{6}=4iz^{2}}\) narysować na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ arg(iz^{5})=0}\) narysować na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ arg((1+i)z^{6})=0}\) również narysować
Liczba \(\displaystyle{ 1-2i}\) jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego o środku w punkcie \(\displaystyle{ 1+i}\) podać postać algebraiczną pozostałych wierzchołków (myślałem żeby przesunąć cały układ o \(\displaystyle{ -1-i}\) i narysować okrąg o środku 0 przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ -3i}\) znaleźć te wierchołki i przesunąć o \(\displaystyle{ 1+i}\))

[Lider_M]

Co do ostatniego, to dobry pomysł.

Do wcześniejszych warto użyć postaci trygonometrycznej.

[qqaazzxx]

czyi to pierwsze zapisać tak? \(\displaystyle{ z=r(\cos( \alpha )+i\sin( \alpha ))}\) wtedy \(\displaystyle{ z^{5}=r^{5}(\cos(5 \alpha )+i\sin(5 \alpha ))}\) i \(\displaystyle{ (\overline{z})^{5}*i=r^{5}(\sin(5 \alpha )+i\cos(5 \alpha ))}\) i po porównaniu mamy \(\displaystyle{ \tg(5 \alpha )=1}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha =\frac{ \pi }{20} +\frac{k \pi }{5}}\) dobrze rozumuje?

[Lider_M]

Nie wiem skąd Ci ten tangens wyszedł. \(\displaystyle{ \overline{z}^5i}\) też przedstaw w postaci trygonometrycznej.

[qqaazzxx]

\(\displaystyle{ \overline{z}=r(\cos( \alpha )-i\sin( \alpha ))}\) stąd \(\displaystyle{ (\overline{z})^{5}=r^{5}(\cos(5 \alpha )-i\sin(5 \alpha ))}\) więć \(\displaystyle{ (\overline{z})^{5}*i=r^{5}(\sin(5 \alpha )+i\cos(5 \alpha ))}\) teraz jak porównamy te dwie liczby to wychodzi że \(\displaystyle{ \cos(5 \alpha )-sin(5 \alpha )+i(\sin(5 \alpha )-cos(5 \alpha ))=0}\) więc \(\displaystyle{ \sin(5 \alpha )=\cos(5 \alpha )}\) chyba, że gdzieś popełniam błąd?

[Premislav]

Nie popełniasz błędu, jest OK, zatem \(\displaystyle{ r}\) dowolne, \(\displaystyle{ \alpha=\frac {\pi}{20}+ \frac{2}{5}k\pi, k \in \ZZ}\).
A z tangensem też było dobrze...

[qqaazzxx]

A dlaczego \(\displaystyle{ +\frac{2k\pi}{5}}\) ? Okres podstawowy tangensa to \(\displaystyle{ k\pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2k\pi}\)

[Premislav]

Racja, powinno być \(\displaystyle{ \frac{k\pi}{5}}\), mój błąd.