Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
-
- Użytkownik
- Posty: 924
- Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Całkonacja
- Podziękował: 227 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ z = (1+\sqrt{2}i)^k}\) ma zawsze niezerową część urojoną niezależnie od wyboru \(\displaystyle{ k}\).
Próbowałem podejść od strony dwumianu Newtona, jednak nic nie widzę, więc proszę o pomoc.
Dziękuję i pozdrawiam.
Próbowałem podejść od strony dwumianu Newtona, jednak nic nie widzę, więc proszę o pomoc.
Dziękuję i pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 28 lis 2016, o 21:53 przez GluEEE, łącznie zmieniany 1 raz.
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Rozumiem, że \(\displaystyle{ k}\) to liczba całkowita dodatnia.
Np. można tak, że \(\displaystyle{ (1+i\sqrt{2})^k=a_k+ib_k\sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_k,b_k\in\mathbb{Z}}\). Znajdź zależność rekurencyjną na \(\displaystyle{ a_k}\), \(\displaystyle{ b_k}\) i wyciągnij wnioski.
Dosyć ogólna metoda, nie przypatrywałem się zbyt długo, może jest jakiś szybszy sposób.
Np. można tak, że \(\displaystyle{ (1+i\sqrt{2})^k=a_k+ib_k\sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_k,b_k\in\mathbb{Z}}\). Znajdź zależność rekurencyjną na \(\displaystyle{ a_k}\), \(\displaystyle{ b_k}\) i wyciągnij wnioski.
Dosyć ogólna metoda, nie przypatrywałem się zbyt długo, może jest jakiś szybszy sposób.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
\(\displaystyle{ \left| c\right|(\cos x + i\sin x) = 1 + i \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{2})^k = \left| c\right|^k(\cos kx + i\sin kx)}\)
jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb Z}\) to w istocie \(\displaystyle{ Im}\) \(\displaystyle{ z \neq 0}\)
Z wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ z = \left| z\right| (\cos x+i\sin x)}\)
\(\displaystyle{ z^n = \left| z\right| ^n(\cos nx+i\sin nx)}\)
\(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{2})^k = \left| c\right|^k(\cos kx + i\sin kx)}\)
jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb Z}\) to w istocie \(\displaystyle{ Im}\) \(\displaystyle{ z \neq 0}\)
Z wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ z = \left| z\right| (\cos x+i\sin x)}\)
\(\displaystyle{ z^n = \left| z\right| ^n(\cos nx+i\sin nx)}\)
Ostatnio zmieniony 28 lis 2016, o 22:41 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 924
- Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Całkonacja
- Podziękował: 227 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
\(\displaystyle{ a_{k} = -2 {k \choose 2} + 4 {k \choose 4} - 8 {k \choose 6} + 16 {k \choose 8}- ...}\)
\(\displaystyle{ b_{k} = {k \choose 1} - 2 {k \choose 3} + 4 {k \choose 5} - 8{k \choose 7} + 16{k \choose 9} - ...}\)
Nie wiem jak z tego przejść do zależności rekurencyjnych.
\(\displaystyle{ b_{k} = {k \choose 1} - 2 {k \choose 3} + 4 {k \choose 5} - 8{k \choose 7} + 16{k \choose 9} - ...}\)
Nie wiem jak z tego przejść do zależności rekurencyjnych.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Za bardzo komplikujesz. Niech \(\displaystyle{ z_k=z^k=(1+i\sqrt{2})^k}\).
Wówczas \(\displaystyle{ z_{k+1}=(1+i\sqrt{2})z_k}\), tak więc
\(\displaystyle{ a_{k+1}=\Re z_{k+1}=-\sqrt{2}\Im z_k+\Re z_k=-\sqrt{2}b_k+a_k}\)
oraz (co nas bardziej interesuje):
\(\displaystyle{ b_{k+1}=\Im z_{k+1}=\Im z_k+\sqrt{2}\Re z_k=b_k+\sqrt{2}a_k}\)
Wówczas \(\displaystyle{ z_{k+1}=(1+i\sqrt{2})z_k}\), tak więc
\(\displaystyle{ a_{k+1}=\Re z_{k+1}=-\sqrt{2}\Im z_k+\Re z_k=-\sqrt{2}b_k+a_k}\)
oraz (co nas bardziej interesuje):
\(\displaystyle{ b_{k+1}=\Im z_{k+1}=\Im z_k+\sqrt{2}\Re z_k=b_k+\sqrt{2}a_k}\)
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Jeśli jest tutaj mocnym słowem, jak to uzasadnisz?PoweredDragon pisze: [...]
jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\)
[...]
\(\displaystyle{ a_{k+1}+ib_{k+1}\sqrt{2}=(1+i\sqrt{2})^k\cdot (1+i\sqrt{2})=...}\). Potem popatrz na np. reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) kolejnych wyrazów tych ciągów.GluEEE pisze: [...]
Nie wiem jak z tego przejść do zależności rekurencyjnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
\(\displaystyle{ kx = 2p \pi \Rightarrow \sin kx = 0 \Rightarrow Imz = 0}\), \(\displaystyle{ p \in \mathbb Z}\)Lider_M pisze:Jeśli jest tutaj mocnym słowem, jak to uzasadnisz?PoweredDragon pisze: [...]
jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\)
[...]
Ale czy to jest prawdziwe dla każdej wartości wykładnika? Jeśli jest taki wykładnik, że jego iloczyn z kątem wynosi \(\displaystyle{ 2p \pi}\), wówczas nie dla każdego wykładnika to jest prawda (nie ma jakiegoś zdefiniowanego zbioru?)
Ostatnio zmieniony 3 gru 2016, o 21:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Kacperdev
- Użytkownik
- Posty: 3260
- Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 686 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
PoweredDragon, ale jak to konkretnie uzasadnisz, że:
\(\displaystyle{ \arcsin \sqrt{ \frac{2}{3} } \neq \frac{ p}{k}\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \ k,p \in \ZZ, k\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \arcsin \sqrt{ \frac{2}{3} } \neq \frac{ p}{k}\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \ k,p \in \ZZ, k\neq 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 924
- Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Całkonacja
- Podziękował: 227 razy
- Pomógł: 14 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
\(\displaystyle{ a_{k+1} = a_{k} - 2b_{k}}\)
\(\displaystyle{ b_{k+1} = a_{k} + b_{k}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge b_{1} = 1}\)
, to \(\displaystyle{ a_k}\) i \(\displaystyle{ b_k}\) nigdy nie są podzielne przez 3.
Dobrze?
Genialny pomysł, dziękuję za pomoc. Rozumiem
\(\displaystyle{ b_{k+1} = a_{k} + b_{k}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge b_{1} = 1}\)
, to \(\displaystyle{ a_k}\) i \(\displaystyle{ b_k}\) nigdy nie są podzielne przez 3.
Dobrze?
Genialny pomysł, dziękuję za pomoc. Rozumiem
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Kacperdev pisze:PoweredDragon, ale jak to konkretnie uzasadnisz, że:
\(\displaystyle{ \arcsin \sqrt{ \frac{2}{3} } \neq \frac{ p}{k}\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \ k,p \in \ZZ, k\neq 0}\)
Właśnie to jest problemem, który zauważyłem. Tego przypadku nie umiem uzasadnić :v Nie można mnie winić za to, że próbowałem k_kJeśli jest taki wykładnik, że jego iloczyn z kątem wynosi \(\displaystyle{ 2p \pi}\), wówczas nie dla każdego wykładnika to jest prawda (nie ma jakiegoś zdefiniowanego zbioru?)
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Tak, tylko trzeba jeszcze uzasadnić tę niepodzielność przez \(\displaystyle{ 3}\) oczywiście.GluEEE pisze:[...]Dobrze?[...]
Bez przesady, nikt nie wini, tylko się dopytujemy.PoweredDragon pisze: [...]Właśnie to jest problemem, który zauważyłem. Tego przypadku nie umiem uzasadnić :v Nie można mnie winić za to, że próbowałem k_k
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 13 paź 2016, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: gdynia
- Podziękował: 1 raz
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
Jak pokazać, że dla 2PI p może wyjść zarówno liczba wymierna, jak i niewymierna?
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.
niezwykle podobne do zadania 12 stąd ... m/68-1.pdf
i dziwnym trafem temat został założony parę dni przed terminem wysyłania trzeciej serii...
proszę to natychmiast usunąć!
i dziwnym trafem temat został założony parę dni przed terminem wysyłania trzeciej serii...
proszę to natychmiast usunąć!