Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: GluEEE »

Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ z = (1+\sqrt{2}i)^k}\) ma zawsze niezerową część urojoną niezależnie od wyboru \(\displaystyle{ k}\).

Próbowałem podejść od strony dwumianu Newtona, jednak nic nie widzę, więc proszę o pomoc.

Dziękuję i pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 28 lis 2016, o 21:53 przez GluEEE, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: Premislav »

Popraw, bo źle przepisałeś.
GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: GluEEE »

Już poprawiłem.
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: Lider_M »

Rozumiem, że \(\displaystyle{ k}\) to liczba całkowita dodatnia.

Np. można tak, że \(\displaystyle{ (1+i\sqrt{2})^k=a_k+ib_k\sqrt{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_k,b_k\in\mathbb{Z}}\). Znajdź zależność rekurencyjną na \(\displaystyle{ a_k}\), \(\displaystyle{ b_k}\) i wyciągnij wnioski.

Dosyć ogólna metoda, nie przypatrywałem się zbyt długo, może jest jakiś szybszy sposób.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: PoweredDragon »

\(\displaystyle{ \left| c\right|(\cos x + i\sin x) = 1 + i \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ (1 + i \sqrt{2})^k = \left| c\right|^k(\cos kx + i\sin kx)}\)

jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ p \in \mathbb Z}\) to w istocie \(\displaystyle{ Im}\) \(\displaystyle{ z \neq 0}\)

Z wzoru de Moivre'a

\(\displaystyle{ z = \left| z\right| (\cos x+i\sin x)}\)

\(\displaystyle{ z^n = \left| z\right| ^n(\cos nx+i\sin nx)}\)
Ostatnio zmieniony 28 lis 2016, o 22:41 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: GluEEE »

\(\displaystyle{ a_{k} = -2 {k \choose 2} + 4 {k \choose 4} - 8 {k \choose 6} + 16 {k \choose 8}- ...}\)
\(\displaystyle{ b_{k} = {k \choose 1} - 2 {k \choose 3} + 4 {k \choose 5} - 8{k \choose 7} + 16{k \choose 9} - ...}\)
Nie wiem jak z tego przejść do zależności rekurencyjnych.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: Premislav »

Za bardzo komplikujesz. Niech \(\displaystyle{ z_k=z^k=(1+i\sqrt{2})^k}\).
Wówczas \(\displaystyle{ z_{k+1}=(1+i\sqrt{2})z_k}\), tak więc
\(\displaystyle{ a_{k+1}=\Re z_{k+1}=-\sqrt{2}\Im z_k+\Re z_k=-\sqrt{2}b_k+a_k}\)
oraz (co nas bardziej interesuje):
\(\displaystyle{ b_{k+1}=\Im z_{k+1}=\Im z_k+\sqrt{2}\Re z_k=b_k+\sqrt{2}a_k}\)
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: Lider_M »

PoweredDragon pisze: [...]
jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\)
[...]
Jeśli jest tutaj mocnym słowem, jak to uzasadnisz?
GluEEE pisze: [...]
Nie wiem jak z tego przejść do zależności rekurencyjnych.
\(\displaystyle{ a_{k+1}+ib_{k+1}\sqrt{2}=(1+i\sqrt{2})^k\cdot (1+i\sqrt{2})=...}\). Potem popatrz na np. reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) kolejnych wyrazów tych ciągów.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: PoweredDragon »

Lider_M pisze:
PoweredDragon pisze: [...]
jeśli \(\displaystyle{ kx \neq 2p \pi}\)
[...]
Jeśli jest tutaj mocnym słowem, jak to uzasadnisz?
\(\displaystyle{ kx = 2p \pi \Rightarrow \sin kx = 0 \Rightarrow Imz = 0}\), \(\displaystyle{ p \in \mathbb Z}\)

Ale czy to jest prawdziwe dla każdej wartości wykładnika? Jeśli jest taki wykładnik, że jego iloczyn z kątem wynosi \(\displaystyle{ 2p \pi}\), wówczas nie dla każdego wykładnika to jest prawda (nie ma jakiegoś zdefiniowanego zbioru?)
Ostatnio zmieniony 3 gru 2016, o 21:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Kacperdev
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: Kacperdev »

PoweredDragon, ale jak to konkretnie uzasadnisz, że:

\(\displaystyle{ \arcsin \sqrt{ \frac{2}{3} } \neq \frac{ p}{k}\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \ k,p \in \ZZ, k\neq 0}\)
GluEEE
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 924
Rejestracja: 30 gru 2012, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Całkonacja
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 14 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: GluEEE »

\(\displaystyle{ a_{k+1} = a_{k} - 2b_{k}}\)
\(\displaystyle{ b_{k+1} = a_{k} + b_{k}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \wedge b_{1} = 1}\)
, to \(\displaystyle{ a_k}\) i \(\displaystyle{ b_k}\) nigdy nie są podzielne przez 3.

Dobrze?
Genialny pomysł, dziękuję za pomoc. Rozumiem
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: PoweredDragon »

Kacperdev pisze:PoweredDragon, ale jak to konkretnie uzasadnisz, że:

\(\displaystyle{ \arcsin \sqrt{ \frac{2}{3} } \neq \frac{ p}{k}\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \ k,p \in \ZZ, k\neq 0}\)
Jeśli jest taki wykładnik, że jego iloczyn z kątem wynosi \(\displaystyle{ 2p \pi}\), wówczas nie dla każdego wykładnika to jest prawda (nie ma jakiegoś zdefiniowanego zbioru?)
Właśnie to jest problemem, który zauważyłem. Tego przypadku nie umiem uzasadnić :v Nie można mnie winić za to, że próbowałem k_k
Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: Lider_M »

GluEEE pisze:[...]Dobrze?[...]
Tak, tylko trzeba jeszcze uzasadnić tę niepodzielność przez \(\displaystyle{ 3}\) oczywiście.
PoweredDragon pisze: [...]Właśnie to jest problemem, który zauważyłem. Tego przypadku nie umiem uzasadnić :v Nie można mnie winić za to, że próbowałem k_k
Bez przesady, nikt nie wini, tylko się dopytujemy.
kalmor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 13 paź 2016, o 22:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdynia
Podziękował: 1 raz

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: kalmor »

Jak pokazać, że dla 2PI p może wyjść zarówno liczba wymierna, jak i niewymierna?
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Udowodnić, że ma zawsze część urojoną.

Post autor: timon92 »

niezwykle podobne do zadania 12 stąd ... m/68-1.pdf

i dziwnym trafem temat został założony parę dni przed terminem wysyłania trzeciej serii...

proszę to natychmiast usunąć!
ODPOWIEDZ