Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
1. Znajdź argument główny liczby:
\(\displaystyle{ z=-cos \frac{ \pi }{7}+isin \frac{ \pi }{7}}\)
2.Wykorzystując zespolony ciąg geometryczny obliczyć:
\(\displaystyle{ cosx+cos2x+...+cosnx, n \in N, x \in R}\)
3. Niech
\(\displaystyle{ E_{k}=cos \frac{2 \pi k}{n}+isin \frac{2 \pi k}{n}, n \in N, k=0,1,....,n-1.}\)
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ a) e_{0}+e _{1}+...+ e_{n-1} =0, n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ b)e _{0} \cdot e_{1} \cdot ... \cdot e _{n-1}= (-1)^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ z=-cos \frac{ \pi }{7}+isin \frac{ \pi }{7}}\)
2.Wykorzystując zespolony ciąg geometryczny obliczyć:
\(\displaystyle{ cosx+cos2x+...+cosnx, n \in N, x \in R}\)
3. Niech
\(\displaystyle{ E_{k}=cos \frac{2 \pi k}{n}+isin \frac{2 \pi k}{n}, n \in N, k=0,1,....,n-1.}\)
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ a) e_{0}+e _{1}+...+ e_{n-1} =0, n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ b)e _{0} \cdot e_{1} \cdot ... \cdot e _{n-1}= (-1)^{n-1}}\)
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
33304.htm
drugie
Resztę też znajdziesz, więc jaki jest problem?
drugie
Resztę też znajdziesz, więc jaki jest problem?
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
@miodzio1988
Znajdę tu na forum?
Chodzi mi głównie o to pierwsze, nie wiem z jakich własności tam skorzystać.
Znajdę tu na forum?
Chodzi mi głównie o to pierwsze, nie wiem z jakich własności tam skorzystać.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
Ok, jednak byłbym wdzięczny gdyby też ktoś pomógł mi rozwiązać te przykłady.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
To są dla mnie nowości.
Te kilka zadań z arkusza do ćwiczeń nie rozumiem, i dlatego tutaj piszę.
1. \(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{7} +isin \frac{ \pi }{7}}\)
No ok, ale tu z wzorów redukcyjnych nie skorzystam, bo kąt nie z pierwsze ćwiartki.
2. \(\displaystyle{ \frac{ e^{ix}+ e^{-ix} }{2} + \frac{ e^{2ix}+ e^{-2ix} }{2} +...+\frac{ e^{inx}+ e^{-inx} }{2}}\)
Te kilka zadań z arkusza do ćwiczeń nie rozumiem, i dlatego tutaj piszę.
1. \(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{7} +isin \frac{ \pi }{7}}\)
No ok, ale tu z wzorów redukcyjnych nie skorzystam, bo kąt nie z pierwsze ćwiartki.
2. \(\displaystyle{ \frac{ e^{ix}+ e^{-ix} }{2} + \frac{ e^{2ix}+ e^{-2ix} }{2} +...+\frac{ e^{inx}+ e^{-inx} }{2}}\)
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
1. Twoje rozwiązanie to "no ok" ? No weź się postaraj trochę.
2. Drugie masz przecież gotowe rozwiązanie...
2. Drugie masz przecież gotowe rozwiązanie...
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
A co mam więcej zrobić, ak nie wiem co zrobić z tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{7}}\)
Gdybym wiedział to bym nie pytał.
Gdybym wiedział to bym nie pytał.
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
A możesz nie pisać mi oczywistych postów? Bo tracisz mój czas wtedy
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
Ktoś inny jest w stanie pomóc mi z tymi zadaniami?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny
1. skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ -\cos \alpha=\cos\left( \pi-\alpha\right)}\) oraz
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(\pi-\alpha)}\).
2.
OK, masz to \(\displaystyle{ \frac{ e^{ix}+ e^{-ix} }{2} + \frac{ e^{2ix}+ e^{-2ix} }{2} +...+\frac{ e^{inx}+ e^{-inx} }{2}}\). Rozbij to na dwie sumy w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{2ix}+\dots+e^{nix}\right)+\frac 1 2\left( e^{-ix}+e^{-2ix}+\dots+e^{-nix}\right)}\)
W każdym z nawiasów użyj wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
(w pierwszym przypadku iloraz \(\displaystyle{ e^{ix}}\), w drugim \(\displaystyle{ e^{-ix}}\)).
3. W podpunkcie a) zastosuj wzór, który otrzymasz z zadania drugiego i drugi analogiczny, dla sinusów:
\\(\displaystyle{ sin x+\sin 2x+\dots+\sin nx= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}+\dots+ \frac{e^{nix}-e^{-inx}}{2i} =\dots}\),
biorąc \(\displaystyle{ x= \frac{2\pi k}{n}}\).
Co do podpunktu b), poczytaj jak się mnoży liczby zespolone w postaci trygonometrycznej (argumenty kątowe dodajesz).
-- 28 lis 2016, o 17:41 --
W 3a) i 3b) istnieją też dużo sprytniejsze rozwiązania, ale wymagające pewnej teorii:
3a) jak znasz wzory Viete'a dla wielomianów dowolnego stopnia, to zauważ, że
liczby \(\displaystyle{ e_k}\) są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\),
a więc wszystkimi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^n+1=0}\) w dziedzinie zespolonej.
Zastosuj wzór na sumę pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) o danych współczynnikach.
3b) jak znasz wzory Viete'a dla wielomianów dowolnego stopnia, to zauważ, że
liczby \(\displaystyle{ e_k}\) są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\),
a więc wszystkimi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^n+1=0}\) w dziedzinie zespolonej. Zastosuj wzór na iloczyn pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) o danych współczynnikach.
\(\displaystyle{ -\cos \alpha=\cos\left( \pi-\alpha\right)}\) oraz
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(\pi-\alpha)}\).
2.
OK, masz to \(\displaystyle{ \frac{ e^{ix}+ e^{-ix} }{2} + \frac{ e^{2ix}+ e^{-2ix} }{2} +...+\frac{ e^{inx}+ e^{-inx} }{2}}\). Rozbij to na dwie sumy w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{2ix}+\dots+e^{nix}\right)+\frac 1 2\left( e^{-ix}+e^{-2ix}+\dots+e^{-nix}\right)}\)
W każdym z nawiasów użyj wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
(w pierwszym przypadku iloraz \(\displaystyle{ e^{ix}}\), w drugim \(\displaystyle{ e^{-ix}}\)).
3. W podpunkcie a) zastosuj wzór, który otrzymasz z zadania drugiego i drugi analogiczny, dla sinusów:
\\(\displaystyle{ sin x+\sin 2x+\dots+\sin nx= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}+\dots+ \frac{e^{nix}-e^{-inx}}{2i} =\dots}\),
biorąc \(\displaystyle{ x= \frac{2\pi k}{n}}\).
Co do podpunktu b), poczytaj jak się mnoży liczby zespolone w postaci trygonometrycznej (argumenty kątowe dodajesz).
-- 28 lis 2016, o 17:41 --
W 3a) i 3b) istnieją też dużo sprytniejsze rozwiązania, ale wymagające pewnej teorii:
3a) jak znasz wzory Viete'a dla wielomianów dowolnego stopnia, to zauważ, że
liczby \(\displaystyle{ e_k}\) są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\),
a więc wszystkimi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^n+1=0}\) w dziedzinie zespolonej.
Zastosuj wzór na sumę pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) o danych współczynnikach.
3b) jak znasz wzory Viete'a dla wielomianów dowolnego stopnia, to zauważ, że
liczby \(\displaystyle{ e_k}\) są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\),
a więc wszystkimi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^n+1=0}\) w dziedzinie zespolonej. Zastosuj wzór na iloczyn pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) o danych współczynnikach.