Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Suicider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Suicider »

1. Znajdź argument główny liczby:

\(\displaystyle{ z=-cos \frac{ \pi }{7}+isin \frac{ \pi }{7}}\)

2.Wykorzystując zespolony ciąg geometryczny obliczyć:

\(\displaystyle{ cosx+cos2x+...+cosnx, n \in N, x \in R}\)

3. Niech
\(\displaystyle{ E_{k}=cos \frac{2 \pi k}{n}+isin \frac{2 \pi k}{n}, n \in N, k=0,1,....,n-1.}\)

Pokazać, że:

\(\displaystyle{ a) e_{0}+e _{1}+...+ e_{n-1} =0, n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ b)e _{0} \cdot e_{1} \cdot ... \cdot e _{n-1}= (-1)^{n-1}}\)
miodzio1988

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: miodzio1988 »

33304.htm

drugie

Resztę też znajdziesz, więc jaki jest problem?
Suicider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Suicider »

@miodzio1988

Znajdę tu na forum?
Chodzi mi głównie o to pierwsze, nie wiem z jakich własności tam skorzystać.
miodzio1988

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: miodzio1988 »

Znajdziesz swoje albo analogiczne zadania
Suicider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Suicider »

Ok, jednak byłbym wdzięczny gdyby też ktoś pomógł mi rozwiązać te przykłady.
miodzio1988

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: miodzio1988 »

Gdzie się gubisz zatem?
Suicider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Suicider »

To są dla mnie nowości.
Te kilka zadań z arkusza do ćwiczeń nie rozumiem, i dlatego tutaj piszę.

1. \(\displaystyle{ cos \frac{ \pi }{7} +isin \frac{ \pi }{7}}\)
No ok, ale tu z wzorów redukcyjnych nie skorzystam, bo kąt nie z pierwsze ćwiartki.


2. \(\displaystyle{ \frac{ e^{ix}+ e^{-ix} }{2} + \frac{ e^{2ix}+ e^{-2ix} }{2} +...+\frac{ e^{inx}+ e^{-inx} }{2}}\)
miodzio1988

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: miodzio1988 »

1. Twoje rozwiązanie to "no ok" ? No weź się postaraj trochę.

2. Drugie masz przecież gotowe rozwiązanie...
Suicider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Suicider »

A co mam więcej zrobić, ak nie wiem co zrobić z tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{7}}\)
Gdybym wiedział to bym nie pytał.
miodzio1988

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: miodzio1988 »

A możesz nie pisać mi oczywistych postów? Bo tracisz mój czas wtedy
Suicider
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 26 lis 2016, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Suicider »

Ktoś inny jest w stanie pomóc mi z tymi zadaniami?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Argument liczby zespolonej i zespolony ciąg geometryczny

Post autor: Premislav »

1. skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ -\cos \alpha=\cos\left( \pi-\alpha\right)}\) oraz
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(\pi-\alpha)}\).

2.
OK, masz to \(\displaystyle{ \frac{ e^{ix}+ e^{-ix} }{2} + \frac{ e^{2ix}+ e^{-2ix} }{2} +...+\frac{ e^{inx}+ e^{-inx} }{2}}\). Rozbij to na dwie sumy w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( e^{ix}+e^{2ix}+\dots+e^{nix}\right)+\frac 1 2\left( e^{-ix}+e^{-2ix}+\dots+e^{-nix}\right)}\)
W każdym z nawiasów użyj wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
(w pierwszym przypadku iloraz \(\displaystyle{ e^{ix}}\), w drugim \(\displaystyle{ e^{-ix}}\)).

3. W podpunkcie a) zastosuj wzór, który otrzymasz z zadania drugiego i drugi analogiczny, dla sinusów:
\\(\displaystyle{ sin x+\sin 2x+\dots+\sin nx= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}+\dots+ \frac{e^{nix}-e^{-inx}}{2i} =\dots}\),
biorąc \(\displaystyle{ x= \frac{2\pi k}{n}}\).
Co do podpunktu b), poczytaj jak się mnoży liczby zespolone w postaci trygonometrycznej (argumenty kątowe dodajesz).

-- 28 lis 2016, o 17:41 --

W 3a) i 3b) istnieją też dużo sprytniejsze rozwiązania, ale wymagające pewnej teorii:
3a) jak znasz wzory Viete'a dla wielomianów dowolnego stopnia, to zauważ, że
liczby \(\displaystyle{ e_k}\) są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\),
a więc wszystkimi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^n+1=0}\) w dziedzinie zespolonej.
Zastosuj wzór na sumę pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) o danych współczynnikach.
3b) jak znasz wzory Viete'a dla wielomianów dowolnego stopnia, to zauważ, że
liczby \(\displaystyle{ e_k}\) są wszystkimi pierwiastkami n-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\),
a więc wszystkimi rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^n+1=0}\) w dziedzinie zespolonej. Zastosuj wzór na iloczyn pierwiastków wielomianu stopnia \(\displaystyle{ n}\) o danych współczynnikach.
ODPOWIEDZ