Zespolone do 6

[socol]

Mam takie zadanie \(\displaystyle{ z ^{2} \cdot \left| z\right|^{2} \cdot \vec{z}^{2} = 27iz}\)

Korzystając z \(\displaystyle{ z \cdot \vec{z} = \left| z\right|^{2}}\) przekształcam na \(\displaystyle{ \left| z\right|^{6} = 27iz}\) i podkłądam za \(\displaystyle{ \left| z\right|^{2} = x^{2} + y^{2}}\) no i za \(\displaystyle{ z = x + yi}\) wyszło mi że \(\displaystyle{ z = 0}\) i się poważnie zastanawiam czy to jedyna odpowiedz?

[Premislav]

Nie. Jeszcze \(\displaystyle{ z}\) może być liczbą czysto urojoną (nie każdą oczywiście) o ujemnej części urojonej.

[socol]

Jakaś drobna podpowiedź? Mam coś kombinować ze wzorem moivre-a?

[Premislav]

Ja lubię postać trygonometryczną, ale w zasadzie nawet wzór de Moivre'a tak bardzo się nie przyda.
Poprawnie otrzymałeś równanie
\(\displaystyle{ |z|^6=27iz}\)
niech teraz \(\displaystyle{ z=r(\cos \alpha+i\sin \alpha).}\), wówczas \(\displaystyle{ |z|^6=r^6}\)
oraz \(\displaystyle{ 27iz=27r(i\cos \alpha-\sin \alpha)=27r\left( \cos(\frac \pi 2+\alpha)+i\sin(\frac \pi 2 +\alpha)\right)}\)
Więc masz do rozwiązania układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} r^6=27r \\ \left( \cos(\frac \pi 2+\alpha)+i\sin(\frac \pi 2 +\alpha)\right)=1\end{cases}}\)

[socol]

dobra kumam, ale nigdy bym na taki zapis nie wpadł dzięki wielkie

[a4karo]

Mam takie zadanie \(\displaystyle{ z ^{2} \cdot \left| z\right|^{2} \cdot \vec{z}^{2} = 27iz}\)

Korzystając z \(\displaystyle{ z \cdot \vec{z} = \left| z\right|^{2}}\) przekształcam na \(\displaystyle{ \left| z\right|^{6} = 27iz}\) i podkłądam za \(\displaystyle{ \left| z\right|^{2} = x^{2} + y^{2}}\) no i za \(\displaystyle{ z = x + yi}\) wyszło mi że \(\displaystyle{ z = 0}\) i się poważnie zastanawiam czy to jedyna odpowiedz?

To może pokaż jak Ci to wyszło. Czasem warto poszukać błędu we własnym rozwiązaniu.

[socol]

No i oczywiscie przepisując moje rozwiązanie natrafiłem na błąd (źle podłożyłem x=0) XD
\(\displaystyle{ \left( x^{2}+ y^{2}\right) ^{3}=27i\left( x+iy\right) \Rightarrow x ^{6}+3x ^{4}y ^{2}+3x ^{2}y ^{4}+y ^{6} = 27xi - 27y

\begin{cases} 27x=0 \\ x ^{6}+3x ^{4}y ^{2}+3x ^{2}y ^{4}+y ^{6}=-27y\end{cases}}\)

No to z pierwszego równania \(\displaystyle{ x=0}\) ... a z drugiego \(\displaystyle{ y ^{6}=-27y}\) (wcześniej z rozpędu pod \(\displaystyle{ y ^{6}}\) podłożyłem zero stąd zły wcześniejszy wniosek) czyli \(\displaystyle{ y = 0}\) lub \(\displaystyle{ y= \sqrt[5]{-27}}\) więc \(\displaystyle{ z_{1}=0}\) , \(\displaystyle{ z_{2}=\sqrt[5]{-27} \cdot i}\)