Liczby zespolone

[krystian987]

Mam problem z zadaniem
1.Znajdz wszystkie wartosci pierwiastków
a) \(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}}\)
z tego co rozumiem mam to zrobić tak:
\(\displaystyle{ \sqrt[4]{1}=cos \frac{1}{2} k \pi + i sin \frac{1}{2} k \pi}\) i podstawiam k={0,1,2,3}
co w takim razie z przykładem :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2-2i}}\)
lub
\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\)
Jeśli sa błedy proszę o poprawienie mnie

[Premislav]

\(\displaystyle{ 2-2i=2\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac \pi 4+2k\pi\right)+i\sin\left(-\frac \pi 4+2k\pi\right)\right)}\)
Dalej korzystasz ze wzoru de Moivre'a, argument kątowy dzielisz przez \(\displaystyle{ 3}\), a moduł normalnie pierwiastkujesz. Oczywiście rozwiązania są trzy.

Natomiast co do \(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}}\), to nie zrobisz tego w sensowny sposób za pomocą postaci trygonometrycznej, proponuję zapisać
\(\displaystyle{ \sqrt{3+4i}=a+bi}\), podnieść stronami do kwadratu i przyrównać części rzeczywiste oraz urojone obu stron. Dostaniesz układ równań na współczynniki \(\displaystyle{ a,b}\)

[krystian987]

czyli mam rozumieć:
\(\displaystyle{ rozw1=\sqrt{2}\left( (\cos(- \frac{ \pi }{12})+isin(- \frac{ \pi }{12})\right)}\)
\(\displaystyle{ rozw2=\sqrt{2}\left( (\cos(- \frac{9 \pi }{12})+isin(- \frac{9 \pi }{12})\right)}\)
itd

[Premislav]

Można i tak.