nierówność w liczbach zespolonych

[rochaj]

Niech \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\) taka ze \(\displaystyle{ \left | z-2 \right |+\left | z \right | \geq 4.}\) Pokaż \(\displaystyle{ \left | z-1 \right | \geq \sqrt{3}.}\)

[Premislav]

Nierówność \(\displaystyle{ |z-2|+|z|\ge 4}\) określa całą płaszczyznę bez wnętrza pewnej elipsy, a
\(\displaystyle{ |z-1| \ge \sqrt{3}}\) - płaszczyznę bez wnętrza pewnego koła. What's the problem?

[szw1710]

Nierówność \(\displaystyle{ |z-2|+|z|\ge 4}\) spełniają punkty zewnętrza elipsy a także samej elipsy o ogniskach \(\displaystyle{ z=0}\) i \(\displaystyle{ z=2}\), osi wielkiej \(\displaystyle{ 6}\) i małej \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\). Na osi małej mamy minmium odległości od jedynki (środka odcinka między ogniskami). Wynosi ono właśnie \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).

To, że \(\displaystyle{ |z-1|+|z|=4}\) jest równaniem elipsy, wynika z jej geometrycznej definicji: suma odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk) jest stała. Stąd łatwo wyliczamy długości osi. W układzie kartezjańskim jest to elipsa \(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\).

Powyższe rozwiązanie kolegi Premislava pokazuje tę minimalność, bo rzeczone koło zawarte jest we wnętrzu elipsy (modulo brzeg, ale nie jest to tutaj najważniejsze).