Rozwiąż równanie szóstego stopnia

bblocked · Post autor: **bblocked** » 20 lis 2016, o 16:40

\(\displaystyle{ z ^{6}-6z ^{5}+18z ^{4} -28z ^{3} +31z ^{2} -22z+14=0}\)

Ktos pomoze? Od czego zacząć?

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 20 lis 2016, o 16:58

Takie dostałaś zadanie, czy to równanie skądś wynika? Może da się prościej dojść do rozwiązania?

bblocked · Post autor: **bblocked** » 20 lis 2016, o 17:07

Polecenia ani nic wiecej nie mam, profesor na cwiczeniach zapisal na tablicy i powiedział, ze to jest zadanie z gwiazdką Zapisał tez pierwiastki \(\displaystyle{ (1-i)(2- \sqrt{3} i), (1+i)(2+ \sqrt{3} i)}\). Ale nie wiem czy one mają byc do tresci zadania czy nam je podał zebysmy nie musieli juz liczyc

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 20 lis 2016, o 17:09

Równanie rzędu szóstego ma sześć pierwiastków zespolonych. Podał wam \(\displaystyle{ 4}\) z nich. Musisz wyliczyć dwa pozostałe.

bblocked · Post autor: **bblocked** » 20 lis 2016, o 17:29

tylko, ze nie mam pojęcia jak to zrobić Dopiero zaczęłam swoją przygode z liczbami zespolonymi i cięzko mi to idzie

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 20 lis 2016, o 17:35

Więc poczytaj o tym dokładniej, jeżeli w równaniu współczynnikami są liczby rzeczywiste, to rozwiązania są parami sprzężone. Więc musisz tylko dzielić twój wielomian szóstego stopnia przez odpowiednie wielomiany skojarzone z rozwiązaniami.

bblocked · Post autor: **bblocked** » 20 lis 2016, o 17:42

oki będę próbować to zrozumieć i zrobić Mam jeszcze pytanie co do takiego wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt[4]{-8+8 \sqrt{3}i }}\) Musze je obliczyc i zapisać w postaci dwumiennej Wynik mi wyszedł \(\displaystyle{ \sqrt{3}+i}\)

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 20 lis 2016, o 18:50

Dobrze wyszło. Takie wyrażenia możesz sprawdzać na wolframie:

bblocked · Post autor: **bblocked** » 20 lis 2016, o 19:31

mortan517,
Sprawdzilam na wolframie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{i}}\) i wyszło jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} i}\) .... A na tej stronie są trzy rozwiazania.. Dlaczego? Mysle nad tym juz chwile i nie mam pomysłu

PoweredDragon · Post autor: **PoweredDragon** » 20 lis 2016, o 20:36

Przede wszystkim warto spojrzeć na podstawy liczb zespolonych;

Pierwiastków n-tego stopa z liczby rzeczywistej w ciele liczb zespolonych jest dokładnie n. Jeśli chodzi o 1 jest nieinaczej:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{1} = \cos \left( \frac{2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \frac{2k\pi}{n} \right)}\)
\(\displaystyle{ k \in {1, 2, ..., n-1}}\)

Jednym z pierwiastków zawsze jest 1 (Jest to też jedyny pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ 1}\))
Jeśli stopień jest parzysty, to jednym z pierwiastków zawsze jest \(\displaystyle{ -1}\)
Jeśli stopień jest podzielny przez 4, to dwoma z pierwiastków zawsze są \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\)

Dla \(\displaystyle{ 1^{\frac{1}{3}}}\) są trzy rozwiązania podane i są to właśnie wspomniane pierwiastki.

Czasami kalkulatory internetowe l. zespolonych głupieją i nie podają wszystkich wyników (ja np. wynik pierwiastka z q miałem podany jako 1, ale nie miałem wspomnianego nic o różnych wynikach ;v)