Liczba zespolona i podanie w postaci algebraicznej

[buszmen201]

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \frac{(\sqrt{3} -i) ^{32} }{(1-i)^{15}}}\)
Wynik podać w postaci algebraicznej.

[Kacperdev]

postać trygonometryczna i wzór de'Moivre.

[buszmen201]

no dobrze stosując powyższe prawa dostałem

\(\displaystyle{ \frac{2^{32}(\cos \frac{32 \pi}{6} +i\sin \frac{32 \pi}{6}) }{ \sqrt{2} ^{15}}}\)

i nie wiem jak to zamienić na postać algebraiczną

[Kacperdev]

1.\(\displaystyle{ 2^{32}=\left( \sqrt{2}\right) ^{64}}\)

2. \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{32\pi}{6}\right)=\sin\left( \frac{16\pi}{3}\right)=\sin\left(5\pi+ \frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi+ \frac{\pi}{3}\right)= -\sin \frac{\pi}{3}}\)

[buszmen201]

Jako że wkradł mi się błąd porawiam + wskazówki od Pana Kacperdev

\(\displaystyle{ \frac{2^{32}(-\cos \frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3})}{-128-128i}}\)

i tu się znowu zgobiłem

[Kacperdev]

mianownik można zapisać

\(\displaystyle{ 2^7(-1-i)=2^7\left( \cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\right)}\)


nie jestem pewny co ty czarujesz w liczniku.

[buszmen201]

Dobra tam są plusy, źle przepisałem
\(\displaystyle{ \frac{2^{32}(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}{-128-128i}}\)
Aczkolwiek redukując otrzymałem
\(\displaystyle{ \frac{-2^{31}(1+\sqrt{3}i)}{-2^7(1+i)} = \frac{2^{24}(1-i+\sqrt{3}i+\sqrt{3})}{2}= 2^{23}(1-i+\sqrt{3}i+\sqrt{3})}\)
Dobrze, czy mocno skopałem po drodze?