Cześć. Mam pewien problem; mam rozwiązać pewne równanie i mój problem wygląda bardziej na algebraiczny, ale przy liczbie rzeczywistej byłoby mi pewnie łatwiej (jestem nowy w te klocki).
\(\displaystyle{ \frac{z-1}{z+1} = xi}\)
\(\displaystyle{ x \in R,
z \in C, Im z \neq 0}\)
Mam to:
a) przedstawić liczbę x w jak najprostszej postaci (I tu nie mam sprecyzowane, ale z tego co zrozumiałem jak najbliżej postaci kanonicznej lub trygonometrycznej liczb zespolonych)
b) wyznaczyć x dla następujących kątów (jak mniemam chodzi o podstawienie do a)?):
Skoro x jest liczbą rzeczywistą to: \(\displaystyle{ \frac{1-\left| z\right|^2}{\left| z+1\right|^2 }=0\\
1-\left| z\right|^2=0\\
\left| z\right|=1 \vee \left| z\right|=-1}\)
Prawe równanie jest sprzeczne, a z lewego wynika że : \(\displaystyle{ z=\cos \alpha +i\sin \alpha}\)
Więc: \(\displaystyle{ x= \frac{2 Im(z)}{\left| z+1\right|^2 }=\frac{2 \sin \alpha }{\left| \cos \alpha +i\sin \alpha +1\right|^2 }=\frac{2 \sin \alpha }{\left( \sqrt{ ( \cos \alpha+1)^2 +(\sin \alpha)^2 }\right)^2 }=
\frac{2 \sin \alpha }{ 2+2\cos \alpha }=\\=\frac{ 4\sin \frac{ \alpha}{2}\cos \frac{ \alpha}{2} }{ 4\cos^2 \frac{ \alpha}{2} }=\tan \frac{ \alpha}{2}}\)
b)
Ponieważ nie jest wiadomo czym jest q to można jedynie wstawić podane kąty
