Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej

[Waysker]

Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej znaleźć i narysować zbiór liczb spełniający warunek.
\(\displaystyle{ \left| z^{8} \right| = z ^{4}}\)
\(\displaystyle{ z ^{3} \cdot \overline{z} ^{2} = -1}\)

Potrafie to rozpisac w postaci wykładniczej ale nie wiem jak znaleźć ten zbiór

Z góry dzięki za pomoc.

[Kacperdev]

Pokaż co masz

[Waysker]

\(\displaystyle{ r ^{8}e ^{8i\varphi}=r ^{4}e ^{4i\varphi}
\cup r ^{8}e ^{8i\varphi}=-r ^{4}e ^{4i\varphi}}\) czyli \(\displaystyle{ \Rightarrow r ^{4}e ^{4i\varphi+ \pi }}\)
oraz drugie
\(\displaystyle{ r ^{3}e ^{3i\varphi} \cdot r ^{2}e ^{-2i\varphi}= -1}\)
i teraz jesli chodzi o wymnożenie tych liczb zespoloncych to nie jestem pewien jak to poprawnie zrobić
\(\displaystyle{ r _{1}r _{2} ^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2}) }}\)

[Kacperdev]

a co tam robi znak sumy mnogościowej?

1. źle.

Zauważ, że wyrażenie po lewej stronie to moduł z liczby \(\displaystyle{ z^8}\) zatem lewa strona jest liczbą rzeczywistą a stąd prawa także musi. (to zaraz sie przyda)

\(\displaystyle{ z=|r|e^{i\alpha}}\)

rozpisując

\(\displaystyle{ r^8=r^4 e^{i4\alpha}}\)
teraz patrzę co się dzieje dla \(\displaystyle{ r=0}\). lewa strona się zeruje, prawa też. więc \(\displaystyle{ z=0}\) to pierwsze rozwiązanie.

teraz zakładam, że\(\displaystyle{ r \neq 0}\)i dziele.

\(\displaystyle{ 1=\left( \frac{1}{r}\right)^4 e^{i4\alpha}}\)

po lewej mamy jedynke a po prawej postać trygonometryczną pewnej liczby i ona także musi być jeden.
oczywiście \(\displaystyle{ r=1}\)
\(\displaystyle{ 4\alpha=2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{k\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in \left\{0, \frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2},\right\}}\)

no i mamy nasze wszystkie rozwiązania
\(\displaystyle{ z \in \left\{ 0,1,i,-1,-i\right\}}\)

2. \(\displaystyle{ z=|r|e^{i\alpha}}\)

rozpisujac:

\(\displaystyle{ |r|^{3}e^{3i\alpha}|r|^{2}e^{-2i\alpha}=-1}\)

\(\displaystyle{ |r|^{5}e^{i\alpha}=-1}\)

spróbuj dokonczyc

[Waysker]

\(\displaystyle{ \left| r\right| ^{5}e ^{1 \alpha }= -1}\)
z tego r musi być = 1 a \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\)
więc jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ z = 1}\)
Dobrze rozumiem?

[Kacperdev]

Jeżeli \(\displaystyle{ r=1}\) a \(\displaystyle{ \alpha=\pi}\)

to \(\displaystyle{ z=-1}\)

[Waysker]

Tak, o to mi chodziło, zgubiłem minusa. Dzieki